Feller 半群の基本性質

$(T_t)$ を Feller 半群、$A$ をその生成子とする。

1. $\|T_t\|\le1$ で、$t\mapsto T_tf$ はすべての $t\ge0$ で連続である。
2. $D(A)$ は稠密、$A$ は閉作用素で、$f\in D(A)$ なら $T_tf\in D(A)$、$\frac{d}{dt}T_tf=AT_tf=T_tAf$、$T_tf-f=\int_0^tT_sAf\,ds$。$\lambda>0$ なら $(\lambda-A)^{-1}f=\int_0^\infty e^{-\lambda t}T_tf\,dt$、$\|(\lambda-A)^{-1}\|\le1/\lambda$。
3. （正の最大値原理）$f\in D(A)$ が $x_0$ で最大値 $f(x_0)\ge0$ をとるならば $Af(x_0)\le0$。
4. （散逸性）$f\in D(A)$、$\lambda>0$ ならば $\|(\lambda-A)f\|\ge\lambda\|f\|$。