数学 › 関数解析と作用素論 › Banach 空間の強連続半群

Trotter–Kato の近似定理

定理 6.1（「Banach 空間の強連続半群」§6）・ ✓公理まで証明済み

$T_n$ , $T$ を縮小半群、 $L_n$ , $L$ をその生成子とする。

次は同値である。(a) ある $\lambda_0>0$ で、全 $x$ について $R(\lambda_0,L_n)x\to R(\lambda_0,L)x$ 。(b) 全 $\lambda>0$ で同じことが成り立つ。(c) 全 $x$ と全 $\tau>0$ について $\sup_{0\le t\le\tau}\|T_n(t)x-T(t)x\|\to0$ 。
$D$ が $L$ の芯で、全 $n$ で $D\subset D(L_n)$ 、全 $x\in D$ で $L_nx\to Lx$ なら、1 の条件が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

閉作用素のレゾルベント✓補題 7.1・ベクトル値解析と関数計算
- ノイマン級数✓定理 6.1・有界作用素と共役作用素
強連続半群の基本性質✓命題 4.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群
- Stone の定理✓定理 3.1・1 径数ユニタリ群と強連続半群
  - 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
  - 自己共役作用素が定めるユニタリ群✓命題 2.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群
強連続族の積✓補題 2.1・Banach 空間の強連続半群
強収束はコンパクト集合上で一様✓補題 5.3・Banach 空間の基本定理

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Trotter–Kato の定理（極限の構成）✓定理 6.2・Banach 空間の強連続半群
Chernoff の積公式✓定理 7.2・Banach 空間の強連続半群