⊙-双対の構造

定理 8.2（「Banach 空間の強連続半群」§8）・ ✓公理まで証明済み

$X^{\odot}$ は $X^*$ のノルム閉部分空間で、各 $T(t)^*$ で不変であり、 $T^{\odot}(t)=T(t)^*|_{X^{\odot}}$ は $X^{\odot}$ 上の強連続半群である。
$X^{\odot}=\overline{D(L^*)}$ （ $X^*$ のノルムでの閉包）。
$T^{\odot}$ の生成子 $L^{\odot}$ は $L^*$ の $X^{\odot}$ の部分である: $D(L^{\odot})=\{x^*\in D(L^*):L^*x^*\in X^{\odot}\}$ 、 $L^{\odot}x^*=L^*x^*$ 。
$X^{\odot}$ は $X$ の点を分離し、全 $x\in X$ で $\frac1M\|x\|\le\sup\{|x^{\odot}(x)|:x^{\odot}\in X^{\odot},\ \|x^{\odot}\|\le1\}\le\|x\|$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 23 件、定義なども含めて 24 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

強連続半群の基本性質✓命題 4.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群
- Stone の定理✓定理 3.1・1 径数ユニタリ群と強連続半群
  - 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
  - 自己共役作用素が定めるユニタリ群✓命題 2.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群
Bochner 積分の基本性質✓命題 3.6・ベクトル値解析と関数計算
- 系 3.3✓ベクトル値解析と関数計算
  - Pettis の可測性定理✓定理 3.2・ベクトル値解析と関数計算
    ノルムを実現する汎関数✓系 3.4・Banach 空間の基本定理（上で展開済み）
- Bochner の定理✓定理 3.5・ベクトル値解析と関数計算
- 分離定理（コンパクト凸集合と閉凸集合）✓定理 4.3・局所凸空間と弱位相
  - コンパクト集合と閉集合のすき間✓補題 4.2・局所凸空間と弱位相
  - 分離定理（開凸集合）✓定理 4.1・局所凸空間と弱位相
    Minkowski 汎関数✓補題 3.4・局所凸空間と弱位相
    Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理
    Hahn–Banach の拡張定理（複素・ノルム空間版）✓定理 3.3・Banach 空間の基本定理（上で展開済み）
  - 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
    コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
    ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
微積分の基本定理と平均値の不等式✓定理 4.1・ベクトル値解析と関数計算
- Bochner 積分の基本性質✓命題 3.6・ベクトル値解析と関数計算（上で展開済み）
ノルムを実現する汎関数✓系 3.4・Banach 空間の基本定理
- Hahn–Banach の拡張定理（複素・ノルム空間版）✓定理 3.3・Banach 空間の基本定理
  - Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理

これを使っている定理証明で参照している 1 件

回帰的な空間は ⊙-回帰的✓定理 8.4・Banach 空間の強連続半群

⊙-双対の構造

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件