数学 › 作用素環と量子統計力学 › von Neumann 環と二重可換子定理有料章

Kaplansky の稠密性定理

定理 3.8（「von Neumann 環と二重可換子定理」§3） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 137 件、定義なども含めて 154 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 連続線形写像の判定✓命題 3.3・局所凸空間と弱位相

  • 局所凸位相の基本性質✓命題 3.2・局所凸空間と弱位相

    • ネットによる閉包・連続性の特徴づけ✓定理 5.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理 この先をたどる →
• 分離定理（コンパクト凸集合と閉凸集合）✓定理 4.3・局所凸空間と弱位相

  • コンパクト集合と閉集合のすき間✓補題 4.2・局所凸空間と弱位相
  • 分離定理（開凸集合）✓定理 4.1・局所凸空間と弱位相

    • Minkowski 汎関数✓補題 3.4・局所凸空間と弱位相
    • Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理
    • Hahn–Banach の拡張定理（複素・ノルム空間版）✓定理 3.3・Banach 空間の基本定理 この先をたどる →
  • 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性

    • コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性 この先をたどる →
    • ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性 この先をたどる →
• von Neumann の二重可換子定理✓定理 3.3・von Neumann 環と二重可換子定理

  • 4 つの位相の関係✓命題 2.2・von Neumann 環と二重可換子定理

    • 3 つの位相の強弱✓命題 5.2・有界作用素と共役作用素
    • トレースによる双対性✓定理 7.8・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
    • Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
    • 特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
    • Banach–Alaoglu の定理✓定理 7.3・Banach 空間の基本定理 この先をたどる →
  • 可換子の基本性質✓命題 3.1・von Neumann 環と二重可換子定理

    • 4 つの位相の関係✓命題 2.2・von Neumann 環と二重可換子定理（上で展開済み）
  • Schur の補題✓補題 2.5・C* 環の状態と GNS 構成

    • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
• von Neumann 環の位相的特徴づけ✓系 3.4・von Neumann 環と二重可換子定理

  • von Neumann の二重可換子定理✓定理 3.3・von Neumann 環と二重可換子定理（上で展開済み）
• 連続関数計算✓系 6.3・C*-代数の基礎

  • ゲルファント表現✓定理 5.4・C*-代数の基礎

    • 指標の基本性質✓補題 5.2・C*-代数の基礎（上で展開済み）
    • コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性 この先をたどる →
    • ノイマン級数✓補題 3.2・C*-代数の基礎 この先をたどる →
    • ゲルファント–マズールの定理✓系 3.4・C*-代数の基礎 この先をたどる →
    • スペクトルの非空コンパクト性✓定理 3.3・C*-代数の基礎 この先をたどる →
  • スペクトルの不変性✓命題 6.1・C*-代数の基礎

    • スペクトルの非空コンパクト性✓定理 3.3・C*-代数の基礎 この先をたどる →
    • ノイマン級数✓補題 3.2・C*-代数の基礎 この先をたどる →
    • ゲルファント表現✓定理 5.4・C*-代数の基礎（上で展開済み）
    • 指標の基本性質✓補題 5.2・C*-代数の基礎（上で展開済み）
  • 指標の基本性質✓補題 5.2・C*-代数の基礎

    • スペクトルの非空コンパクト性✓定理 3.3・C*-代数の基礎 この先をたどる →
    • C*-等式から従うこと✓命題 4.2・C*-代数の基礎 この先をたどる →
  • ゲルファント–ナイマルクの定理（可換な場合）✓定理 5.6・C*-代数の基礎

    • 指標の基本性質✓補題 5.2・C*-代数の基礎（上で展開済み）
    • ゲルファント表現✓定理 5.4・C*-代数の基礎（上で展開済み）
    • C*-等式から従うこと✓命題 4.2・C*-代数の基礎 この先をたどる →
    • ウリゾーンの補題✓補題 6.1・分離公理と距離づけ可能性 この先をたどる →
    • コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性 この先をたどる →
  • *-準同型の縮小性✓補題 4.7・C*-代数の基礎

    • C*-等式から従うこと✓命題 4.2・C*-代数の基礎 この先をたどる →
  • 連続関数のスペクトルは値域✓補題 3.5・C*-代数の基礎

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

• KMS 条件の弱閉包への拡張✓補題 6.1・状態の凸分解
• KMS 状態のモジュラー群は時間発展✓命題 4.3・KMS 状態と熱平衡
• Araki–Woods 状態の KMS 性✓補題 3.2・Liouvillean と熱平衡への回帰
• 可換 von Neumann 環の構造✓定理 6.9・von Neumann 環と二重可換子定理
• くさびの環での KMS 条件✓補題 5.3・局所ネットのモジュラー理論

関連するノック 2 問

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