数学 › 関数解析と作用素論 › Banach 空間の基本定理
Banach–Alaoglu の定理
をノルム空間とする。 の閉単位球 は弱 * 位相についてコンパクトである。さらに が可分なら、閉単位球の弱 * 位相は距離づけ可能であり、 の任意の有界列は弱 * 収束する部分列をもつ。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 27 件、定義なども含めて 34 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
Banach–Alaoglu の定理✓定理 6.1・局所凸空間と弱位相
- Minkowski 汎関数✓補題 3.4・局所凸空間と弱位相
Tychonoff の定理✓定理 6.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
コンパクト性の超フィルターによる特徴づけ✓定理 5.9・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 超フィルターの特徴づけ✓補題 5.7・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 超フィルターの補題✓定理 5.8・積位相・商位相と Tychonoff の定理 この先をたどる →
超フィルターの像は超フィルター✓補題 6.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 超フィルターの特徴づけ✓補題 5.7・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
局所凸位相の基本性質✓命題 3.2・局所凸空間と弱位相
- ネットによる閉包・連続性の特徴づけ✓定理 5.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理（上で展開済み）
積空間での収束は座標ごとの収束✓定理 5.3・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- ネットによる閉包・連続性の特徴づけ✓定理 5.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理（上で展開済み）
積位相の開基✓命題 3.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
ネットによる閉包・連続性の特徴づけ✓定理 5.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
内部と閉包の基本性質✓定理 6.5・位相空間の定義と基本概念
コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
可分な場合の点列版✓定理 6.2・局所凸空間と弱位相
- Banach–Alaoglu の定理✓定理 6.1・局所凸空間と弱位相（上で展開済み）
コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性
- コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性（上で展開済み）
コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性
- ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間
- ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
これを使っている定理 証明で参照している 3 件
- 球の中での最小化元と Thomas–Fermi 方程式✓命題 4.2・束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論
- 状態空間の凸性とコンパクト性✓命題 3.5・C* 環の状態と GNS 構成
- 4 つの位相の関係✓命題 2.2・von Neumann 環と二重可換子定理