Banach–Alaoglu の定理

定理 6.1（「局所凸空間と弱位相」§6）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を局所凸空間、 $V$ を $0$ の近傍とする。 $V$ の極集合

V^\circ=\{F\in X^*:\text{全 }x\in V\text{ で }|F(x)|\le1\}

は弱 * 位相 $\sigma(X^*,X)$ についてコンパクトである。とくに $X$ がノルム空間なら、 $X^*$ の閉単位球 $B^*=\{F:\|F\|\le1\}$ は弱 * コンパクトである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 20 件、定義なども含めて 26 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Minkowski 汎関数✓補題 3.4・局所凸空間と弱位相
Tychonoff の定理✓定理 6.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- コンパクト性の超フィルターによる特徴づけ✓定理 5.9・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 超フィルターの特徴づけ✓補題 5.7・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 超フィルターの補題✓定理 5.8・積位相・商位相と Tychonoff の定理
    Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
- 超フィルターの像は超フィルター✓補題 6.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 超フィルターの特徴づけ✓補題 5.7・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
局所凸位相の基本性質✓命題 3.2・局所凸空間と弱位相
- ネットによる閉包・連続性の特徴づけ✓定理 5.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理（上で展開済み）
積空間での収束は座標ごとの収束✓定理 5.3・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- ネットによる閉包・連続性の特徴づけ✓定理 5.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理（上で展開済み）
- 積位相の開基✓命題 3.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
ネットによる閉包・連続性の特徴づけ✓定理 5.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 内部と閉包の基本性質✓定理 6.5・位相空間の定義と基本概念
  - 位相空間定義 4.1・位相空間の定義と基本概念
  - 閉集合族の性質✓命題 4.3・位相空間の定義と基本概念
    ド・モルガンの法則（集合族版）✓系 5.6・数学の国語この先をたどる →
  - 近傍定義 6.1・位相空間の定義と基本概念
コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Banach–Alaoglu の定理✓定理 7.3・Banach 空間の基本定理
可分な場合の点列版✓定理 6.2・局所凸空間と弱位相
回帰的空間の単位球✓系 6.4・局所凸空間と弱位相

Banach–Alaoglu の定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件