数学 › 位相空間論 › 積位相・商位相と Tychonoff の定理

ネットによる閉包・連続性の特徴づけ

定理 5.2（「積位相・商位相と Tychonoff の定理」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X, Y$ を位相空間とする。

$A \subseteq X$ 、 $x \in X$ とする。 $x \in \overline{A}$ であるための必要十分条件は、 $A$ の点からなるネットで $x$ に収束するものが存在することである。
写像 $f : X \to Y$ が $x \in X$ で連続であるための必要十分条件は、 $x$ に収束するすべてのネット $(x_\lambda)$ について $f(x_\lambda) \to f(x)$ となることである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 9 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

内部と閉包の基本性質✓定理 6.5・位相空間の定義と基本概念
- 位相空間定義 4.1・位相空間の定義と基本概念
- 閉集合族の性質✓命題 4.3・位相空間の定義と基本概念
  - ド・モルガンの法則（集合族版）✓系 5.6・数学の国語
    量化子の否定✓定理 5.3・数学の国語この先をたどる →
    外延性の原理公理 3.2・数学の国語
- 近傍定義 6.1・位相空間の定義と基本概念

これを使っている定理証明で参照している 5 件

局所凸位相の基本性質✓命題 3.2・局所凸空間と弱位相
Banach–Alaoglu の定理✓定理 6.1・局所凸空間と弱位相
始位相での収束✓定理 7.1・ネットとフィルターによる収束
積空間での収束は座標ごとの収束✓定理 5.3・積位相・商位相と Tychonoff の定理
第一可算空間では点列で十分✓命題 7.3・積位相・商位相と Tychonoff の定理

関連するノック 1 問

位相空間論第 54 問