数学 › 位相空間論 › 積位相・商位相と Tychonoff の定理

第一可算空間では点列で十分

命題 7.3（「積位相・商位相と Tychonoff の定理」§7）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を第一可算な位相空間とする。

$A \subseteq X$ に対し、 $x \in \overline{A}$ であることと、 $A$ の点からなる点列で $x$ に収束するものが存在することは同値である。
写像 $f : X \to Y$ が $x$ で連続であることと、 $x$ に収束するすべての点列 $(x_n)$ について $f(x_n) \to f(x)$ となることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 10 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ネットによる閉包・連続性の特徴づけ✓定理 5.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 内部と閉包の基本性質✓定理 6.5・位相空間の定義と基本概念
  - 位相空間定義 4.1・位相空間の定義と基本概念
  - 閉集合族の性質✓命題 4.3・位相空間の定義と基本概念
    ド・モルガンの法則（集合族版）✓系 5.6・数学の国語この先をたどる →
  - 近傍定義 6.1・位相空間の定義と基本概念

これを使っている定理証明で参照している 2 件

第一可算 ⇒ Fréchet–Urysohn ⇒ 点列空間✓命題 2.2・可算性・点列・可算コンパクト性
点列空間は距離空間の商空間✓定理 2.3・可算性・点列・可算コンパクト性

関連するノック 1 問

位相空間論第 44 問