数学 › 位相空間論 › 位相空間の定義と基本概念

閉集合族の性質

命題 4.3（「位相空間の定義と基本概念」§4）・ ✓公理まで証明済み

$(X,\mathcal{O})$ を位相空間とし、 $\mathcal{F}$ を閉集合全体の族とします。このとき次が成り立ちます。

(C1) $\emptyset\in\mathcal{F}$ かつ $X\in\mathcal{F}$ 。
(C2) $\Lambda\ne\emptyset$ を任意の添字集合とし、各 $\lambda\in\Lambda$ に対し $F_\lambda\in\mathcal{F}$ とすると、 $\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda\in\mathcal{F}$ 。
(C3) $F_1,\dots,F_n\in\mathcal{F}$ （有限個）ならば $\bigcup_{k=1}^{n}F_k\in\mathcal{F}$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ド・モルガンの法則（集合族版）✓系 5.6・数学の国語
- 量化子の否定✓定理 5.3・数学の国語
  - 全称記号と存在記号定義 5.2・数学の国語
  - 論理結合子定義 2.3・数学の国語
- 外延性の原理公理 3.2・数学の国語

これを使っている定理証明で参照している 2 件

内部と閉包の基本性質✓定理 6.5・位相空間の定義と基本概念
クラトフスキの閉包公理✓定理 7.5・位相空間の定義と基本概念

関連するノック 2 問