クラトフスキの閉包公理

定理 7.5（「位相空間の定義と基本概念」§7）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を集合、 $c\colon\mathfrak{P}(X)\to\mathfrak{P}(X)$ が次の 4 条件を満たすとします。

このとき $\mathcal{F}=\{A\subseteq X : c(A)=A\}$ を閉集合族とする位相が $X$ 上にただ 1 つ存在し、その位相に関する閉包 $\overline{A}$ は、すべての $A\subseteq X$ に対して $c(A)$ と一致します。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 9 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

閉集合族の性質✓命題 4.3・位相空間の定義と基本概念
- ド・モルガンの法則（集合族版）✓系 5.6・数学の国語
  - 量化子の否定✓定理 5.3・数学の国語
    全称記号と存在記号定義 5.2・数学の国語
    論理結合子定義 2.3・数学の国語
  - 外延性の原理公理 3.2・数学の国語
内部と閉包の基本性質✓定理 6.5・位相空間の定義と基本概念
- 位相空間定義 4.1・位相空間の定義と基本概念
- 閉集合族の性質✓命題 4.3・位相空間の定義と基本概念（上で展開済み）
- 近傍定義 6.1・位相空間の定義と基本概念

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。