数学 › 位相空間論 › 積位相・商位相と Tychonoff の定理

積空間での収束は座標ごとの収束

定理 5.3（「積位相・商位相と Tychonoff の定理」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X = \prod_{i \in I} X_i$ とする。 $X$ のネット $(x_\lambda)$ が $x \in X$ に収束するための必要十分条件は、すべての $i$ について $\pi_i(x_\lambda) \to \pi_i(x)$ となることである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ネットによる閉包・連続性の特徴づけ✓定理 5.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 内部と閉包の基本性質✓定理 6.5・位相空間の定義と基本概念
  - 位相空間定義 4.1・位相空間の定義と基本概念
  - 閉集合族の性質✓命題 4.3・位相空間の定義と基本概念
    ド・モルガンの法則（集合族版）✓系 5.6・数学の国語この先をたどる →
  - 近傍定義 6.1・位相空間の定義と基本概念
積位相の開基✓命題 3.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Banach–Alaoglu の定理✓定理 6.1・局所凸空間と弱位相
Tychonoff の定理（普遍ネットによる証明）✓定理 3.2・普遍ネット・超フィルターとコンパクト性

関連するノック 3 問