始位相での収束

定理 7.1（「ネットとフィルターによる収束」§7）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を集合、 $\{(Y_j, \tau_j)\}_{j \in J}$ を位相空間の族、 $f_j : X \to Y_j$ を写像とし、 $X$ に始位相を入れる。 $x \in X$ とする。

$X$ のネット $(x_\lambda)$ が $x$ に収束するための必要十分条件は、すべての $j$ について $f_j(x_\lambda) \to f_j(x)$ となることである。
$X$ 上のフィルター $\mathcal{F}$ が $x$ に収束するための必要十分条件は、すべての $j$ について $(f_j)_*\mathcal{F} \to f_j(x)$ となることである。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 18 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
始位相・終位相の普遍性✓定理 2.4・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 積空間と積位相定義 3.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 商位相・商写像定義 4.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 直和位相定義 4.6・積位相・商位相と Tychonoff の定理
ネットによる閉包・連続性の特徴づけ✓定理 5.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 内部と閉包の基本性質✓定理 6.5・位相空間の定義と基本概念
  - 位相空間定義 4.1・位相空間の定義と基本概念
  - 閉集合族の性質✓命題 4.3・位相空間の定義と基本概念
    ド・モルガンの法則（集合族版）✓系 5.6・数学の国語この先をたどる →
  - 近傍定義 6.1・位相空間の定義と基本概念
閉包と連続性のフィルターによる特徴づけ✓命題 5.1・ネットとフィルターによる収束
- 内部と閉包の基本性質✓定理 6.5・位相空間の定義と基本概念（上で展開済み）
- 点における連続性定義 3.2・連続写像と同相写像
- フィルター基・生成されるフィルター・細分定義 3.1・ネットとフィルターによる収束

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。