始位相・終位相の普遍性

定理 2.4（「積位相・商位相と Tychonoff の定理」§2）・ ✓公理まで証明済み

（始位相） $X$ に始位相を入れる。各 $f_j$ は連続であり、すべての $f_j$ を連続にする $X$ の位相は始位相を含む。位相空間 $W$ から $X$ への写像 $h : W \to X$ が連続であるための必要十分条件は、すべての $j$ について $f_j \circ h$ が連続であることである。
（終位相） $Y$ に終位相 $\tau_{\mathrm{fin}}$ を入れる。 $\tau_{\mathrm{fin}}$ は $Y$ の位相であり、各 $g_j$ は連続で、すべての $g_j$ を連続にする $Y$ の位相は $\tau_{\mathrm{fin}}$ に含まれる。位相空間 $W$ への写像 $k : Y \to W$ が連続であるための必要十分条件は、すべての $j$ について $k \circ g_j$ が連続であることである。
積位相は射影の族に関する始位相、部分集合 $A \subseteq X$ の部分空間の位相（ $\{A \cap U : U\text{ は }X\text{ の開集合}\}$ ）は包含写像 $A \to X$ に関する始位相である。商位相は全射 $q$ に関する、直和位相は包含 $\iota_i$ の族に関する終位相である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。