数学 › 関数解析と作用素論 › 局所凸空間と弱位相

局所凸位相の基本性質

命題 3.2（「局所凸空間と弱位相」§3）・ ✓公理まで証明済み

$(X,\tau_{\mathcal{P}})$ を局所凸空間とする。

集合 $U(x;p_1,\ldots,p_n;\varepsilon)$ は開かつ凸であり、加法 $X\times X\to X$ とスカラー倍 $\mathbb{K}\times X\to X$ は連続である。
ネット $(x_\lambda)$ が $x$ に収束することと、すべての $p\in\mathcal{P}$ で $p(x_\lambda-x)\to0$ となることは同値である。とくに各 $p\in\mathcal{P}$ は連続である。
$\tau_{\mathcal{P}}$ が Hausdorff であることと、 $\mathcal{P}$ が分離的であることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 10 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ネットによる閉包・連続性の特徴づけ✓定理 5.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 内部と閉包の基本性質✓定理 6.5・位相空間の定義と基本概念
  - 位相空間定義 4.1・位相空間の定義と基本概念
  - 閉集合族の性質✓命題 4.3・位相空間の定義と基本概念
    ド・モルガンの法則（集合族版）✓系 5.6・数学の国語この先をたどる →
  - 近傍定義 6.1・位相空間の定義と基本概念

これを使っている定理証明で参照している 3 件

連続線形写像の判定✓命題 3.3・局所凸空間と弱位相
Banach–Alaoglu の定理✓定理 6.1・局所凸空間と弱位相
Markov–角谷の不動点定理✓定理 8.1・局所凸空間と弱位相