数学 › 作用素環と量子統計力学 › von Neumann 環と二重可換子定理有料章

von Neumann の二重可換子定理

定理 3.3（「von Neumann 環と二重可換子定理」§3） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 112 件、定義なども含めて 127 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 4 つの位相の関係✓命題 2.2・von Neumann 環と二重可換子定理

  • 3 つの位相の強弱✓命題 5.2・有界作用素と共役作用素
  • トレースによる双対性✓定理 7.8・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

    • 階数 1 の和のトレース✓補題 7.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

      • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定 この先をたどる →
    • 特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
    • トレースの定義と基本性質✓定理 7.7・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

      • 特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
      • 階数 1 の和のトレース✓補題 7.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
      • Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
    • Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
    • リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎

      • 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎 この先をたどる →
    • 極分解✓定理 4.11・有界作用素と共役作用素

      • 共役の基本性質✓命題 3.3・有界作用素と共役作用素
      • 部分等長の特徴づけ✓命題 4.8・有界作用素と共役作用素 この先をたどる →
    • Hilbert–Schmidt 作用素の性質✓命題 6.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

      • Hilbert–Schmidt ノルムの基底によらなさ✓命題 6.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
      • 有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
    • コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    • 有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

      • コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  • Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

    • Schatten ノルムの変分表示✓定理 6.2・作用素不等式と積分作用素

      • 特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
      • ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
      • 特異値の比較✓補題 6.1・作用素不等式と積分作用素 この先をたどる →
    • Schatten クラスの Hölder 不等式✓定理 6.3・作用素不等式と積分作用素

      • Schatten ノルムの変分表示✓定理 6.2・作用素不等式と積分作用素（上で展開済み）
  • 特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

    • Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

      • ノルムは固有値として達成される✓補題 4.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
      • コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
      • 対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
  • Banach–Alaoglu の定理✓定理 7.3・Banach 空間の基本定理

    • Banach–Alaoglu の定理✓定理 6.1・局所凸空間と弱位相 この先をたどる →
    • 可分な場合の点列版✓定理 6.2・局所凸空間と弱位相

      • Banach–Alaoglu の定理✓定理 6.1・局所凸空間と弱位相 この先をたどる →
      • コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性 この先をたどる →
      • 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間 この先をたどる →
• 可換子の基本性質✓命題 3.1・von Neumann 環と二重可換子定理

  • 4 つの位相の関係✓命題 2.2・von Neumann 環と二重可換子定理（上で展開済み）
• Schur の補題✓補題 2.5・C* 環の状態と GNS 構成

  • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算

    • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
  • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算

    • 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
    • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 10 件

• KMS 条件の von Neumann 環への拡張と分離性✓命題 4.2・KMS 状態と熱平衡
• 準同値の特徴づけ✓定理 3.3・表現の準同値と準自由状態の判定
• 整解析的な元の性質✓補題 7.3・Liouvillean と熱平衡への回帰
• von Neumann 環の位相的特徴づけ✓系 3.4・von Neumann 環と二重可換子定理
• Kaplansky の稠密性定理✓定理 3.8・von Neumann 環と二重可換子定理
• B(H) は因子である✓命題 6.2・von Neumann 環と二重可換子定理
• 可換 von Neumann 環の構造✓定理 6.9・von Neumann 環と二重可換子定理
• 群 von Neumann 環の基本性質✓補題 6.11・von Neumann 環と二重可換子定理
• 跡状態から生じる因子✓命題 6.15・von Neumann 環と二重可換子定理
• テンソル積の可換子✓補題 6.16・von Neumann 環と二重可換子定理

関連するノック 2 問

• 作用素環と量子統計力学 第 13 問有料
• 作用素環と量子統計力学 第 14 問有料