数学 › 関数解析と作用素論 › コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

Hilbert–Schmidt の定理

定理 4.2（「コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス」§4） ・ ✓公理まで証明済み

K∈K(H)K\in\mathcal{K}(\mathcal{H}) を自己共役とする。有限または可算な正規直交系 (en)n∈N(e_n)_{n\in N}（N={1,…,n0}N = \{1,\dots,n_0\} または N=NN = \mathbb{N}）と、∣λ1∣≥∣λ2∣≥⋯|\lambda_1|\ge|\lambda_2|\ge\cdots を満たす 00 でない実数 λn\lambda_n が存在して、次が成り立つ。

  1. Ken=λnenKe_n = \lambda_ne_n。N=NN = \mathbb{N} なら λn→0\lambda_n\to0。
  2. すべての x∈Hx\in\mathcal{H} で Kx=∑n∈Nλn⟨en,x⟩enKx = \sum_{n\in N}\lambda_n\langle e_n, x\rangle e_n。さらに ∥K−∑n≤Mλn∣en⟩⟨en∣∥→0\bigl\|K - \sum_{n\le M}\lambda_n|e_n\rangle\langle e_n|\bigr\|\to0（M→∞M\to\infty）。
  3. H=Ker(K)⊕span‾{en:n∈N}\mathcal{H} = \mathrm{Ker}(K)\oplus\overline{\mathrm{span}}\{e_n : n\in N\}（直交直和）。
  4. σ(K)∖{0}={λn:n∈N}\sigma(K)\setminus\{0\} = \{\lambda_n : n\in N\} で、各 λ≠0\lambda\ne0 の固有空間は有限次元であり、{en:λn=λ}\{e_n : \lambda_n = \lambda\} がその正規直交基底である。dim⁡H=∞\dim\mathcal{H} = \infty なら 0∈σ(K)0\in\sigma(K)。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 14 件

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