数学 › スペクトル・散乱理論 › 1 次元散乱と Jost 関数有料章

Krein のトレース公式（証明つき）

定理 5.3（「1 次元散乱と Jost 関数」§5） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 81 件、定義なども含めて 89 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• スペクトル平均✓補題 5.1・1 次元散乱と Jost 関数

  • 関数計算の収束✓命題 3.3・作用素の収束と摂動

    • 1 点判定✓補題 3.2・作用素の収束と摂動
• トレースの微分公式✓補題 5.2・1 次元散乱と Jost 関数

  • 時間発展の差のトレースノルム✓補題 7.2・トレースクラス摂動と Kato–Rosenblum の定理

    • Cook の判定法✓定理 4.1・波動作用素と漸近完全性

      • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

      • Schatten ノルムの変分表示✓定理 6.2・作用素不等式と積分作用素 この先をたどる →
      • Schatten クラスの Hölder 不等式✓定理 6.3・作用素不等式と積分作用素 この先をたどる →
  • トレースの定義と基本性質✓定理 7.7・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

    • 特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

      • Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
    • 階数 1 の和のトレース✓補題 7.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

      • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定 この先をたどる →
    • Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
• Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

  • ノルムは固有値として達成される✓補題 4.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

    • 自己共役作用素のスペクトル✓定理 6.10・有界作用素と共役作用素

      • 共役の基本性質✓命題 3.3・有界作用素と共役作用素
      • 正規作用素のスペクトル半径✓系 6.8・有界作用素と共役作用素 この先をたどる →
  • コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  • 対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

    • 有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

      • コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

• 摂動行列式による表示✓定理 5.4・1 次元散乱と Jost 関数
• 1 次元のスペクトルシフト関数と Birman–Krein 公式✓定理 6.2・1 次元散乱と Jost 関数
• Krein のトレース公式✓定理 7.3・トレースクラス摂動と Kato–Rosenblum の定理