数学 › 関数解析と作用素論 › コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

コンパクト作用素は閉じた両側イデアル

命題 3.2（「コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス」§3）・ ✓公理まで証明済み

$X, Y, Z$ を Banach 空間とする。

$\mathcal{K}(X,Y)$ は $\mathcal{B}(X,Y)$ のノルム閉部分空間である。
$K\in\mathcal{K}(X,Y)$ 、 $A\in\mathcal{B}(Y,Z)$ 、 $B\in\mathcal{B}(Z,X)$ なら $AK$ と $KB$ はコンパクトである。
$\mathcal{H}$ が Hilbert 空間で $K\in\mathcal{K}(\mathcal{H})$ なら $K^*\in\mathcal{K}(\mathcal{H})$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理証明で参照している 10 件

$|x|^{-1/2}$ の相対コンパクト性✓補題 5.6・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb
Toeplitz 作用素のノルムと Hankel 作用素のコンパクト性✓命題 2.3・Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理
有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
トレースによる双対性✓定理 7.8・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
トレースノルムで連続な族の積分✓補題 7.10・Fredholm 理論
Cwikel の評価✓定理 6.8・作用素不等式と積分作用素
Fredholm の択一✓定理 4.3・楕円型方程式の弱解と変分法
複素スケーリングされたハミルトニアンのスペクトルの構造✓補題 3.3・共鳴
自己共役性・下界・離散スペクトル✓定理 2.2・量子 Rabi 模型と Jaynes–Cummings 模型

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