Fredholm の択一

定理 4.3（「楕円型方程式の弱解と変分法」§4）・ ✓公理まで証明済み

次のいずれか一方だけが成り立つ。

(a) 任意の $f\in L^2(\Omega)$ に対し、 $Lu=f$ の弱解 $u\in H^1_0(\Omega)$ がただ一つ存在する。
(b) $Lu=0$ が $0$ でない弱解 $u\in H^1_0(\Omega)$ をもつ。

(b) の場合、 $Lu=0$ の弱解全体は有限次元である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 227 件、定義なども含めて 254 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

弱解の存在と一意性✓定理 4.2・楕円型方程式の弱解と変分法
- Gårding 不等式（エネルギー評価）✓定理 4.1・楕円型方程式の弱解と変分法
- Lax–Milgram の定理✓定理 3.2・楕円型方程式の弱解と変分法
  - リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎
    射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - 二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎
    命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
    射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
- Poincaré の不等式✓補題 2.1・楕円型方程式の弱解と変分法
有界領域での Rellich の定理✓系 5.2・Sobolev 空間
- $Hᵏ = W^{k,2}$ ✓命題 3.2・Sobolev 空間
  - 超関数の演算定義 6.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 𝒮 上の基本操作✓命題 3.5・Schwartz 空間と緩増加超関数
    連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
    動径関数の積分✓系 6.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 𝒮′ 上の Fourier 変換✓定理 6.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
    𝒮 上の Fourier 変換✓定理 4.2・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
    微分と掛け算の交換✓補題 4.1・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
- Rellich のコンパクト性定理✓定理 5.1・Sobolev 空間
  - Arzelà–Ascoli の定理✓定理 3.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
    C(K) の完備性✓補題 2.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
    閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
    距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間この先をたどる →
    コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
- 表現定理✓定理 4.2・自己共役性の判定
- Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - ノルムは固有値として達成される✓補題 4.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    自己共役作用素のスペクトル✓定理 6.10・有界作用素と共役作用素この先をたどる →
  - コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - 対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
Fredholm の択一定理✓定理 5.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
- Riesz–Schauder の定理✓定理 5.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - Riesz–Schauder の定理（証明つき）✓定理 3.1・Fredholm 理論
    Riesz の定理✓系 2.2・Fredholm 理論この先をたどる →
    有限次元・有限余次元の部分空間✓補題 2.3・Fredholm 理論この先をたどる →
    Riesz の補題✓補題 2.1・Fredholm 理論
    Riesz 射影によるスペクトル分解✓定理 7.2・ベクトル値解析と関数計算この先をたどる →
    有限ランクの Riesz 射影と極✓命題 7.3・ベクトル値解析と関数計算この先をたどる →
- Fredholm の択一定理（Banach 空間版）✓定理 5.1・Fredholm 理論
  - 1 + コンパクトの指数は 0✓補題 4.3・Fredholm 理論
    Riesz–Schauder の定理（証明つき）✓定理 3.1・Fredholm 理論（上で展開済み）
    有限次元・有限余次元の部分空間✓補題 2.3・Fredholm 理論この先をたどる →
  - 核と値域の零化空間✓補題 2.4・Fredholm 理論
    有限次元・有限余次元の部分空間✓補題 2.3・Fredholm 理論この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Fredholm の択一

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）