数学 › 偏微分方程式 › 楕円型方程式の弱解と変分法

Lax–Milgram の定理

定理 3.2（「楕円型方程式の弱解と変分法」§3）・ ✓公理まで証明済み

$H$ を実 Hilbert 空間、 $B:H\times H\to\mathbb{R}$ を双線形形式とし、定数 $\alpha,\beta\gt0$ について

|B[u,v]|\le\alpha\|u\|\|v\|,\qquad B[u,u]\ge\beta\|u\|^2\qquad(u,v\in H)

が成り立つとする。このとき任意の有界線形汎関数 $F\in H^*$ に対し、すべての $v\in H$ で $B[u,v]=F(v)$ を満たす $u\in H$ がただ一つ存在し、 $\|u\|\le\|F\|/\beta$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎
- 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎
  - 平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎
  - 最近点の変分的特徴づけ✓補題 3.3・Hilbert 空間の基礎
  - 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎
- 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
- 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Galerkin 近似の適切性✓定理 2.3・有限要素法 I
Schauder 評価（Campanato の方法）✓定理 5.6・楕円型正則性と最大値原理
弱解の存在と一意性✓定理 4.2・楕円型方程式の弱解と変分法

関連するノック 3 問