偏微分方程式 50 本ノック

修士50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマ各章（調和関数・熱方程式・波動方程式・弱解・正則性・Weyl 則）の主張を読み、ルベーグ積分とヒルベルト空間・ソボレフ空間の基礎を学んだ修士課程の人。

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執筆: Claude Code（Opus 5.5）、Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 4 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• L. C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., American Mathematical Society
• D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer
• M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics IV: Analysis of Operators
• 俣野博・神保道夫『熱・波動と微分方程式』岩波書店

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜10: ラプラス方程式と調和関数
• 11〜18: 熱方程式
• 19〜26: 波動方程式
• 27〜34: 楕円型方程式の弱解と変分法
• 35〜43: 楕円型正則性と最大値原理
• 44〜50: Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

形式: 単一選択 17・複数選択 8・○× 6・数値 8・並べ替え 3・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 0 / 13 / 32 / 5。

この冊で使う定義・定理（79）

• 系 5.2 p 級数 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 → 50 番
• 定義 2.1 弱微分と W^{k,p} Sobolev 空間：弱微分・埋め込み定理・Rellich のコンパクト性・トレース定理 → 35 番
• 定理 4.1 Hˢ の連続関数への埋め込み Sobolev 空間：弱微分・埋め込み定理・Rellich のコンパクト性・トレース定理 → 43 番
• 定義 7.3 Schatten クラスとトレースクラス コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス：特異値で測る作用素の大きさ → 50 番
• 定理 4.2 リースの表現定理 Hilbert 空間の基礎：射影定理・リースの表現定理・正規直交基底 → 30 番
• 定理 6.1 Trotter 積公式 1 径数ユニタリ群と強連続半群：Stone・Hille–吉田・Trotter 積公式 → 16 番
• 定理 4.2 表現定理 自己共役性の判定：Kato–Rellich・KLMN・Friedrichs 拡大・Nelson の可換子定理 → 33 番
• 定理 6.1 Friedrichs 拡大 自己共役性の判定：Kato–Rellich・KLMN・Friedrichs 拡大・Nelson の可換子定理 → 33 番
• 系 3.1 領域の単調性 Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則：変分原理・Dirichlet–Neumann bracketing・Faber–Krahn → 49 番
• 定義 2.1 固有値の計数関数 Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則：変分原理・Dirichlet–Neumann bracketing・Faber–Krahn → 47, 48 番
• 例 6.11 正方形と円板の比較 Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則：変分原理・Dirichlet–Neumann bracketing・Faber–Krahn → 46, 49 番
• 補題 3.2 正弦・余弦の基底 Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則：変分原理・Dirichlet–Neumann bracketing・Faber–Krahn → 31, 47 番
• 補題 3.3 立方体の Dirichlet 試験関数 Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則：変分原理・Dirichlet–Neumann bracketing・Faber–Krahn → 31, 47 番
• 補題 2.2 変分原理（計数関数版） Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則：変分原理・Dirichlet–Neumann bracketing・Faber–Krahn → 45, 48 番
• 定理 4.1 Dirichlet–Neumann bracketing Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則：変分原理・Dirichlet–Neumann bracketing・Faber–Krahn → 45, 46, 50 番
• 定理 6.9 Faber–Krahn の不等式 Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則：変分原理・Dirichlet–Neumann bracketing・Faber–Krahn → 49 番
• 定理 5.2 Weyl の漸近公式 Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則：変分原理・Dirichlet–Neumann bracketing・Faber–Krahn → 44, 46, 49, 50 番
• 系 5.7 Poisson 方程式の Schauder 評価 楕円型正則性と最大値原理：差分商・凸領域の H² 評価・Campanato の方法による Schauder 評価・Allegretto–Piepenbrink → 36 番
• 補題 2.2 差分商と弱微分 楕円型正則性と最大値原理：差分商・凸領域の H² 評価・Campanato の方法による Schauder 評価・Allegretto–Piepenbrink → 35 番
• 補題 5.4 調和関数の勾配の減衰 楕円型正則性と最大値原理：差分商・凸領域の H² 評価・Campanato の方法による Schauder 評価・Allegretto–Piepenbrink → 39 番
• 補題 5.5 反復補題 楕円型正則性と最大値原理：差分商・凸領域の H² 評価・Campanato の方法による Schauder 評価・Allegretto–Piepenbrink → 39 番
• 補題 6.1 正の部分の弱微分 楕円型正則性と最大値原理：差分商・凸領域の H² 評価・Campanato の方法による Schauder 評価・Allegretto–Piepenbrink → 40 番
• 注意 4.2 一般の凸領域への拡張（主張） 楕円型正則性と最大値原理：差分商・凸領域の H² 評価・Campanato の方法による Schauder 評価・Allegretto–Piepenbrink → 36 番
• 定理 7.1 Allegretto–Piepenbrink の定理 楕円型正則性と最大値原理：差分商・凸領域の H² 評価・Campanato の方法による Schauder 評価・Allegretto–Piepenbrink → 41, 42 番
• 定理 5.2 Campanato の定理 楕円型正則性と最大値原理：差分商・凸領域の H² 評価・Campanato の方法による Schauder 評価・Allegretto–Piepenbrink → 38 番
• 定理 4.1 凸領域の H² 評価（Grisvard） 楕円型正則性と最大値原理：差分商・凸領域の H² 評価・Campanato の方法による Schauder 評価・Allegretto–Piepenbrink → 37 番
• 定理 3.1 内部 H² 正則性 楕円型正則性と最大値原理：差分商・凸領域の H² 評価・Campanato の方法による Schauder 評価・Allegretto–Piepenbrink → 36, 43 番
• 定理 5.6 Schauder 評価（Campanato の方法） 楕円型正則性と最大値原理：差分商・凸領域の H² 評価・Campanato の方法による Schauder 評価・Allegretto–Piepenbrink → 39 番
• 定理 6.2 弱最大値原理 楕円型正則性と最大値原理：差分商・凸領域の H² 評価・Campanato の方法による Schauder 評価・Allegretto–Piepenbrink → 40 番
• 例 5.4 変分問題の例 楕円型方程式の弱解と変分法：Lax–Milgram の定理・Gårding 不等式・Dirichlet 原理・直接法 → 32 番
• 演習 7.3 楕円型方程式の弱解と変分法：Lax–Milgram の定理・Gårding 不等式・Dirichlet 原理・直接法 → 32 番
• 演習 7.2 楕円型方程式の弱解と変分法：Lax–Milgram の定理・Gårding 不等式・Dirichlet 原理・直接法 → 30 番
• 補題 2.1 Poincaré の不等式 楕円型方程式の弱解と変分法：Lax–Milgram の定理・Gårding 不等式・Dirichlet 原理・直接法 → 18, 27, 29, 34, 40 番
• 命題 6.1 弱解と形式の表す作用素 楕円型方程式の弱解と変分法：Lax–Milgram の定理・Gårding 不等式・Dirichlet 原理・直接法 → 33, 43 番
• 定理 5.2 凸積分汎関数の直接法 楕円型方程式の弱解と変分法：Lax–Milgram の定理・Gårding 不等式・Dirichlet 原理・直接法 → 32 番
• 定理 5.1 Dirichlet 原理 楕円型方程式の弱解と変分法：Lax–Milgram の定理・Gårding 不等式・Dirichlet 原理・直接法 → 32 番
• 定理 4.3 Fredholm の択一 楕円型方程式の弱解と変分法：Lax–Milgram の定理・Gårding 不等式・Dirichlet 原理・直接法 → 31 番
• 定理 4.1 Gårding 不等式（エネルギー評価） 楕円型方程式の弱解と変分法：Lax–Milgram の定理・Gårding 不等式・Dirichlet 原理・直接法 → 28, 34 番
• 定理 3.2 Lax–Milgram の定理 楕円型方程式の弱解と変分法：Lax–Milgram の定理・Gårding 不等式・Dirichlet 原理・直接法 → 27, 30, 34 番
• 定理 4.2 弱解の存在と一意性 楕円型方程式の弱解と変分法：Lax–Milgram の定理・Gårding 不等式・Dirichlet 原理・直接法 → 28 番
• 系 3.3 Cauchy 問題の一意性 熱方程式：基本解・放物型最大値原理・熱半群 e^{tΔ}・Feynman–Kac 公式 → 12 番
• 定義 2.1 熱方程式の基本解（熱核） 熱方程式：基本解・放物型最大値原理・熱半群 e^{tΔ}・Feynman–Kac 公式 → 11 番
• 定義 4.1 熱半群 熱方程式：基本解・放物型最大値原理・熱半群 e^{tΔ}・Feynman–Kac 公式 → 13 番
• 演習 6.2 熱方程式：基本解・放物型最大値原理・熱半群 e^{tΔ}・Feynman–Kac 公式 → 18 番
• 補題 2.2 熱核の性質 熱方程式：基本解・放物型最大値原理・熱半群 e^{tΔ}・Feynman–Kac 公式 → 11, 14 番
• 命題 5.1 熱半群の確率論的表示 熱方程式：基本解・放物型最大値原理・熱半群 e^{tΔ}・Feynman–Kac 公式 → 16, 17 番
• 注意 5.3 偏微分方程式としての読み方 熱方程式：基本解・放物型最大値原理・熱半群 e^{tΔ}・Feynman–Kac 公式 → 17 番
• 注意 3.4 増大度の条件は外せない 熱方程式：基本解・放物型最大値原理・熱半群 e^{tΔ}・Feynman–Kac 公式 → 12 番
• 定理 3.2 全空間での最大値原理 熱方程式：基本解・放物型最大値原理・熱半群 e^{tΔ}・Feynman–Kac 公式 → 12 番
• 定理 5.2 Feynman–Kac 公式（有界連続ポテンシャル） 熱方程式：基本解・放物型最大値原理・熱半群 e^{tΔ}・Feynman–Kac 公式 → 16 番
• 定理 2.3 Cauchy 問題の解 熱方程式：基本解・放物型最大値原理・熱半群 e^{tΔ}・Feynman–Kac 公式 → 14 番
• 定理 4.2 熱半群の性質 熱方程式：基本解・放物型最大値原理・熱半群 e^{tΔ}・Feynman–Kac 公式 → 13 番
• 定理 3.1 有界領域での弱最大値原理 熱方程式：基本解・放物型最大値原理・熱半群 e^{tΔ}・Feynman–Kac 公式 → 15 番
• 系 4.3 Dirichlet 問題の一意性と安定性 ラプラス方程式と調和関数：平均値の性質・最大値原理・Harnack の不等式・Green 関数 → 7, 8, 10 番
• 系 2.2 Green の公式 ラプラス方程式と調和関数：平均値の性質・最大値原理・Harnack の不等式・Green 関数 → 10, 26 番
• 系 4.2 弱最大値原理 ラプラス方程式と調和関数：平均値の性質・最大値原理・Harnack の不等式・Green 関数 → 2 番
• 定義 6.1 ラプラス方程式の基本解 ラプラス方程式と調和関数：平均値の性質・最大値原理・Harnack の不等式・Green 関数 → 1, 8 番
• 定義 3.1 調和関数・劣調和関数 ラプラス方程式と調和関数：平均値の性質・最大値原理・Harnack の不等式・Green 関数 → 1, 5 番
• 演習 8.4 ラプラス方程式と調和関数：平均値の性質・最大値原理・Harnack の不等式・Green 関数 → 8 番
• 演習 8.1 ラプラス方程式と調和関数：平均値の性質・最大値原理・Harnack の不等式・Green 関数 → 4, 5, 9 番
• 補題 2.3 球の上の積分の半径微分 ラプラス方程式と調和関数：平均値の性質・最大値原理・Harnack の不等式・Green 関数 → 3 番
• 命題 3.4 調和関数の導関数の評価 ラプラス方程式と調和関数：平均値の性質・最大値原理・Harnack の不等式・Green 関数 → 4 番
• 定理 5.1 Harnack の不等式 ラプラス方程式と調和関数：平均値の性質・最大値原理・Harnack の不等式・Green 関数 → 9 番
• 定理 3.2 平均値の性質 ラプラス方程式と調和関数：平均値の性質・最大値原理・Harnack の不等式・Green 関数 → 3, 6 番
• 定理 3.3 平均値の性質の逆と滑らかさ ラプラス方程式と調和関数：平均値の性質・最大値原理・Harnack の不等式・Green 関数 → 5 番
• 定理 7.5 球の Dirichlet 問題 ラプラス方程式と調和関数：平均値の性質・最大値原理・Harnack の不等式・Green 関数 → 7 番
• 定理 4.1 強最大値原理 ラプラス方程式と調和関数：平均値の性質・最大値原理・Harnack の不等式・Green 関数 → 2, 6 番
• 系 4.3 Huygens の原理（3 次元） 波動方程式：d'Alembert の公式・球面平均と Kirchhoff の公式・Huygens の原理・有限伝播速度 → 21 番
• 系 5.4 台の広がり 波動方程式：d'Alembert の公式・球面平均と Kirchhoff の公式・Huygens の原理・有限伝播速度 → 25 番
• 演習 6.1 波動方程式：d'Alembert の公式・球面平均と Kirchhoff の公式・Huygens の原理・有限伝播速度 → 20 番
• 演習 6.3 波動方程式：d'Alembert の公式・球面平均と Kirchhoff の公式・Huygens の原理・有限伝播速度 → 21 番
• 演習 6.2 波動方程式：d'Alembert の公式・球面平均と Kirchhoff の公式・Huygens の原理・有限伝播速度 → 25 番
• 補題 3.1 Darboux の方程式 波動方程式：d'Alembert の公式・球面平均と Kirchhoff の公式・Huygens の原理・有限伝播速度 → 22 番
• 補題 4.1 tM_h は波動方程式を解く 波動方程式：d'Alembert の公式・球面平均と Kirchhoff の公式・Huygens の原理・有限伝播速度 → 22, 24 番
• 定理 2.1 d'Alembert の公式 波動方程式：d'Alembert の公式・球面平均と Kirchhoff の公式・Huygens の原理・有限伝播速度 → 19, 20 番
• 定理 5.1 エネルギー保存 波動方程式：d'Alembert の公式・球面平均と Kirchhoff の公式・Huygens の原理・有限伝播速度 → 25 番
• 定理 5.3 有限伝播速度 波動方程式：d'Alembert の公式・球面平均と Kirchhoff の公式・Huygens の原理・有限伝播速度 → 23, 25, 26 番
• 定理 4.2 Kirchhoff の公式 波動方程式：d'Alembert の公式・球面平均と Kirchhoff の公式・Huygens の原理・有限伝播速度 → 22, 24 番
• 定理 4.4 Poisson の公式（2 次元） 波動方程式：d'Alembert の公式・球面平均と Kirchhoff の公式・Huygens の原理・有限伝播速度 → 21 番