偏微分方程式

数学修士無料 6 章有料 0 章

Laplace 方程式、熱方程式、波動方程式、楕円型方程式の弱解と正則性、Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則を扱う。

想定読者: 大学院生（修士課程）・数学や物理を深く学びたい人

前提テーマ:常微分方程式、フーリエ解析と超関数、関数解析と作用素論

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章ラプラス方程式と調和関数無料n 次元の調和関数について、発散定理から平均値の性質を導き、強最大値原理と Harnack の不等式を証明する。基本解で Poisson 方程式を解き、Green 関数と球の Poisson 核で Dirichlet 問題を解く。
2. 第 2 章熱方程式無料Gauss 核による熱方程式の Cauchy 問題の解法、放物型最大値原理と増大度つきの一意性定理、Lᵖ 上の熱半群の性質を証明し、Brown 運動による表示から Trotter 積公式を経て有界ポテンシャルの Feynman–Kac 公式を導く。
3. 第 3 章波動方程式無料1 次元の d'Alembert の公式を特性線で導き、球面平均の Darboux 方程式から 3 次元の Kirchhoff の公式と 2 次元の Poisson の公式を証明する。Huygens の原理の成否を比べ、エネルギー評価から有限伝播速度を示す。
4. 第 4 章楕円型方程式の弱解と変分法無料発散形の 2 階楕円型方程式の弱解を Sobolev 空間 H¹₀ で定義し、Lax–Milgram の定理と Gårding 不等式で存在と一意性を、Rellich の定理で Fredholm の択一を示す。凸汎関数の直接法と Euler–Lagrange 方程式、閉形式との対応も証明する。
5. 第 5 章楕円型正則性と最大値原理無料弱解の内部 H² 正則性を差分商で、凸領域での H² 評価を境界項の符号から示す。Campanato の積分による Hölder 連続性の特徴づけで Poisson 方程式の Schauder 評価を証明し、弱最大値原理と Allegretto–Piepenbrink の定理を扱う。
6. 第 6 章Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則無料有界領域の Dirichlet ラプラシアンの固有値の個数を変分原理で数え、立方体への Dirichlet–Neumann bracketing と格子点の評価から Weyl の漸近公式 N(λ) ~ ω_n|Ω|λ^{n/2}/(2π)^n を証明する。対称減少再配置と分極による Pólya–Szegő の不等式から Faber–Krahn の不等式も導く。