熱方程式：基本解・放物型最大値原理・熱半群 e^{tΔ}・Feynman–Kac 公式

0. この記事の要点

熱い一点から熱がまわりに広がっていく様子を、式で正確に追う記事です。最初は一点に集めた熱が、時間がたつとどのような形に広がるのか。次に、初期の温度が決まれば後の温度がただ一つに決まるのか。最後に、この広がり方を「粒子がでたらめに動いたときの平均」として読み直します。読み終えると、熱方程式の解を具体的な式で書け、確率論の表示との関係が分かります。

• 熱方程式 $\partial_tu=\Delta u$ の基本解（熱核）$\Phi(x,t)=(4\pi t)^{-n/2}e^{-|x|^2/4t}$ は、総量 $1$ の正の Gauss 関数で、$t\to0$ で原点に集中します。$\Phi(\cdot,t)*g$ は有界連続な初期値 $g$ の Cauchy 問題を解き、$t\gt0$ で直ちに $C^\infty$ になります。
• 有界な柱状領域では、熱方程式の解は最大値を放物境界（底面と側面）でとります。全空間では、増大度 $|u|\le Ae^{a|x|^2}$ を課すと同じ最大値原理が成り立ち、Cauchy 問題の解はこの範囲で一意です。
• $P_tf=\Phi(\cdot,t)*f$ は各 $L^p$ 上の正値な縮小半群で、$1\le p\lt\infty$ では強連続です。$L^2$ では自己共役作用素 $\Delta$ の半群 $e^{t\Delta}$ に一致し、$C_c^2$ 関数上で生成子（$\frac1t(P_tf-f)$ の $t\to0$ での極限として得られる作用素）は $\Delta$ です。ここで強連続とは、各 $f$ について $t\to0$ で $P_tf\to f$ となることです。
• Brown 運動 $B$ を使うと $P_tf(x)=E[f(x+\sqrt2B_t)]$ で、熱方程式は「粒子の拡散の期待値」です。有界連続なポテンシャル $V$ については、Trotter 積公式（$e^{t(A+B)}$ を $e^{tA}$ と $e^{tB}$ の交互の積で近似する公式）から Feynman–Kac 公式 $e^{-t(-\Delta+V)}f(x)=E\bigl[e^{-\int_0^tV(x+\sqrt2B_s)ds}f(x+\sqrt2B_t)\bigr]$ が出ます。

この記事で使う事前知識

• 調和関数: $\Delta u=0$ を満たす関数で、熱方程式の時間によらない解にあたります。→ 調和関数
• 畳み込み: $(\Phi*g)(x)=\int\Phi(x-y)g(y)\,dy$ のように、一方の関数をずらしながら重みつきで平均する操作です。→ 畳み込み
• ほとんど至るところ: 測度 $0$ の集合を除いたすべての点で成り立つ、という意味です。→ ほとんど至るところ
• 強連続半群: $P_{t+s}=P_tP_s$ を満たし、$t\to0$ で $P_tf\to f$ となる作用素の族です。→ 1 径数ユニタリ群と強連続半群
• Brown 運動: 独立で正規分布に従う増分をもつ、連続な経路の確率過程です。→ マルチンゲールとブラウン運動

1. 動機

熱方程式 $\partial_tu=\Delta u$ は、温度や濃度が「高いところから低いところへ、勾配に比例して流れる」という法則（Fourier の法則・Fick の法則）と保存則を組み合わせたものです。前章の調和関数はその定常解でした。

熱方程式には、波動方程式と対照的な 2 つの特徴があります。一つは平滑化で、初期値がどれほど荒くても $t\gt0$ では解が $C^\infty$ になります。もう一つは無限の伝播速度で、初期値が原点の近くにしかなくても、$t\gt0$ ではすべての点で解が正になります。どちらも熱核 $\Phi$ が全空間で正の滑らかな関数であることから来ます。

もう一つの見方は確率論です。$\Phi(\cdot,t)$ は分散 $2t$ の正規分布の密度なので、熱方程式の解は「Brown 運動する粒子が時刻 $t$ にいる場所での初期値の期待値」です。この見方を Schrödinger 作用素 $-\Delta+V$ に延ばしたのが Feynman–Kac 公式で、量子力学の虚時間発展を経路の上の積分として書き表します。本章では、この公式を作用素論（Trotter 積公式）と Brown 運動の有限次元分布だけから証明します。

2. 熱核

以下、$\mathbb{R}^n\times(0,T]$ のような集合の上の関数 $u(x,t)$ について、$u,\partial_tu,\partial_iu,\partial_i\partial_ju$ が連続であることを $u\in C^{2,1}$ と書きます。

定義 2.1（熱方程式の基本解（熱核））↗

$x\in\mathbb{R}^n$、$t\gt0$ について

$$\Phi(x,t)=\frac1{(4\pi t)^{n/2}}\exp\Bigl(-\frac{|x|^2}{4t}\Bigr)$$

とおき、熱核（熱方程式の基本解）という。$\Phi_t=\Phi(\cdot,t)$ とも書く。

補題 2.2（熱核の性質）✓

1. $\Phi\in C^\infty(\mathbb{R}^n\times(0,\infty))$、$\Phi\gt0$ で、$\partial_t\Phi=\Delta\Phi$。
2. すべての $t\gt0$ で $\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x,t)\,dx=1$。
3. すべての $\delta\gt0$ で $\int_{|x|\ge\delta}\Phi(x,t)\,dx\to0$（$t\to0$）。
4. $\Phi_t*\Phi_s=\Phi_{t+s}$（$t,s\gt0$）。

証明（補題 2.2）

(1) $\partial_t\Phi=\bigl(-\frac n{2t}+\frac{|x|^2}{4t^2}\bigr)\Phi$、$\partial_i\Phi=-\frac{x_i}{2t}\Phi$、$\partial_i^2\Phi=\bigl(-\frac1{2t}+\frac{x_i^2}{4t^2}\bigr)\Phi$ で、$i$ について足すと一致します。

(2) $\Phi_t(x)=\prod_{i=1}^n(4\pi t)^{-1/2}e^{-x_i^2/4t}$ と分かれるので、Fubini の定理と Gauss 積分 $\int_{\mathbb{R}}e^{-a y^2}dy=\sqrt{\pi/a}$（定理 3.3［広義積分・パラメータ積分とガンマ関数］）で $1$ です。

(3) $x=\sqrt t\,z$ と変数変換（系 3.5［ℝ^d の変数変換公式と極座標］）すると $\int_{|x|\ge\delta}\Phi_t\,dx=\int_{|z|\ge\delta/\sqrt t}\Phi_1(z)\,dz$ で、$\Phi_1$ は可積分なので優収束定理で $0$ に収束します。

(4) 積の形に分かれるので $n=1$ で示せば十分です。平方完成

$$\frac{(x-y)^2}{4t}+\frac{y^2}{4s}=\frac{t+s}{4ts}\Bigl(y-\frac{s\,x}{t+s}\Bigr)^2+\frac{x^2}{4(t+s)}$$

と Gauss 積分から $\int_{\mathbb{R}}\Phi_t(x-y)\Phi_s(y)\,dy=\frac1{4\pi\sqrt{ts}}\sqrt{\frac{4\pi ts}{t+s}}\,e^{-x^2/4(t+s)}=\Phi_{t+s}(x)$ です。

∎

(3) は「$t\to0$ で $\Phi_t$ が原点に集中する」こと、(4) は「時間 $s$ 拡散してから時間 $t$ 拡散するのは、時間 $t+s$ 拡散するのと同じ」ことを言っています。$\Phi_t$ の分散は $\int|x|^2\Phi_t\,dx=2nt$ で、広がりは $\sqrt t$ に比例します（演習）。

左の熱核は t が小さいと細く高く、大きいと低く広がりますが、面積は常に 1 です。右は区間 $(-1,1)$ の指示関数 $g$ に $\Phi_t$ を畳み込んだ $\Phi_t*g$ で、角のある初期値が直ちになめらかになる様子が見えます。

t を 0.02 から 4 まで増やしたときの熱核 Φ(x, t)（左）と、段差のある初期値 g への畳み込み Φ(·, t)*g（右）。面積は 1 のまま、山は低く広がる

定理 2.3（Cauchy 問題の解）✓

$g\in C(\mathbb{R}^n)$ が有界であるとし、

$$u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x-y,t)\,g(y)\,dy\qquad(x\in\mathbb{R}^n,\ t\gt0)$$

とおく。このとき $u\in C^\infty(\mathbb{R}^n\times(0,\infty))$、$\partial_tu=\Delta u$、$\sup|u|\le\sup|g|$ で、すべての $x_0$ について $\lim_{(x,t)\to(x_0,0),\,t\gt0}u(x,t)=g(x_0)$ である。

証明（定理 2.3）

滑らかさ。 $\partial_t^k\partial_x^\alpha\Phi(x-y,t)$ は $t^{-m}\times$（$x-y$ の多項式）$\times\Phi(x-y,t)$ の有限和です。$|x|\le R$、$t_1\le t\le t_2$ の範囲では、$|y|\ge2R$ で $|x-y|\ge|y|/2$ なので、これは $C(1+|y|)^Ne^{-|y|^2/16t_2}$ で一様に抑えられ、可積分です。$g$ は有界なので、積分記号下の微分（系 7.4［ルベーグ積分の定義と収束定理］）を繰り返して $u\in C^\infty$、補題 2.2 の (1) から $\partial_tu-\Delta u=\int(\partial_t-\Delta)\Phi(x-y,t)g(y)\,dy=0$ です。$|u|\le\sup|g|\int\Phi_t=\sup|g|$ も (2) から出ます。

初期値。 $\varepsilon\gt0$ に対し、$|y-x_0|\lt\delta$ なら $|g(y)-g(x_0)|\lt\varepsilon$ となる $\delta$ をとります。$|x-x_0|\lt\delta/2$ なら、$|y-x_0|\ge\delta$ のとき $|y-x|\ge\delta/2$ なので、(2) から

$$|u(x,t)-g(x_0)|\le\int\Phi(x-y,t)|g(y)-g(x_0)|\,dy\le\varepsilon+2\sup|g|\int_{|w|\ge\delta/2}\Phi(w,t)\,dw$$

です。(3) から最後の項は $t\to0$ で $0$ に収束します。

∎

$g\ge0$ が原点の近くでだけ正でも、$t\gt0$ では至るところ $u\gt0$ です。熱は「無限の速さ」で伝わります。

3. 最大値原理と一意性

$U\subset\mathbb{R}^n$ を有界な開集合、$T\gt0$ とし、放物柱 $U_T=U\times(0,T]$ と放物境界 $\Gamma_T=\bar U_T\setminus U_T$（底面 $\bar U\times\{0\}$ と側面 $\partial U\times[0,T]$）を考えます。上面 $U\times\{T\}$ は $U_T$ に含まれ、境界には数えません。

放物柱 U_T と放物境界 Γ_T（太線）。最大値は底面か側面でとられ、上面ではとられない

定理 3.1（有界領域での弱最大値原理）✓

$u\in C^{2,1}(U_T)\cap C(\bar U_T)$ が $U_T$ で $\partial_tu-\Delta u\le0$ を満たすなら、$\max_{\bar U_T}u=\max_{\Gamma_T}u$ である。

証明（定理 3.1）

$\varepsilon\gt0$ について $w=u-\varepsilon t$ とおくと $\partial_tw-\Delta w\le-\varepsilon\lt0$ です。$w$ の $\bar U_T$ 上の最大値（コンパクト性から存在）が $(x_0,t_0)\in U_T$ でとられたとします。$x_0$ は $U$ の内点なので、各方向の 1 変数関数として 2 階微分を見れば $\partial_i^2w(x_0,t_0)\le0$、よって $\Delta w\le0$ です。$t_0\lt T$ なら $\partial_tw=0$、$t_0=T$ なら左側からの差分商を見て $\partial_tw\ge0$ です。いずれにせよ $\partial_tw-\Delta w\ge0$ となり矛盾します。よって $\max_{\bar U_T}w=\max_{\Gamma_T}w$ で、

$$\max_{\bar U_T}u\le\max_{\bar U_T}w+\varepsilon T=\max_{\Gamma_T}w+\varepsilon T\le\max_{\Gamma_T}u+\varepsilon T$$

です。$\varepsilon\to0$ とします。

∎

上面を境界に含めないのが要点です。上面の点は「未来から情報を受けない」ので、内部の点と同じ扱いになります。$-u$ に使えば最小値の主張も出るので、初期値と側面の値が同じ 2 つの解は一致します（初期値・境界値問題の一意性）。

全空間では、領域が有界でないので放物境界は底面だけになりますが、解の増大度を制限しないと最大値原理は成り立ちません（注意 3.4）。

次の定理の証明では、有界領域の最大値原理を、半径 $r$ の柱の上で補助関数 $v$ に使います。$v$ は、解 $u$ から、熱方程式を満たし $|x-y|$ が大きいほど急に大きくなる関数を引いたものです。引く関数が側面で $u$ の増大を上回るので、側面での $v$ は十分小さくなり、最大値は底面でしかとれなくなります。時間が長いときは、短い区間に分けて同じ議論を繰り返します。

定理 3.2（全空間での最大値原理）✓

$u\in C^{2,1}(\mathbb{R}^n\times(0,T])\cap C(\mathbb{R}^n\times[0,T])$ が $\partial_tu=\Delta u$ を満たし、ある $A,a\gt0$ について $u(x,t)\le Ae^{a|x|^2}$ であるとする。このとき $\sup_{\mathbb{R}^n\times[0,T]}u=\sup_{\mathbb{R}^n}u(\cdot,0)$ である。

証明（定理 3.2）

$M=\sup u(\cdot,0)$ とし、$M\lt\infty$ としてよい。

$4aT\lt1$ の場合。 $4a(T+\varepsilon)\lt1$ となる $\varepsilon\gt0$ をとり、$\frac1{4(T+\varepsilon)}=a+\gamma$（$\gamma\gt0$）とおきます。$y\in\mathbb{R}^n$、$\mu\gt0$ を固定し

$$v(x,t)=u(x,t)-\mu\,(T+\varepsilon-t)^{-n/2}\exp\Bigl(\frac{|x-y|^2}{4(T+\varepsilon-t)}\Bigr)$$

とおきます。第 2 項の関数 $h$ は、$s=T+\varepsilon-t$、$z=x-y$ として $\partial_th=\bigl(\frac n{2s}+\frac{|z|^2}{4s^2}\bigr)h=\Delta h$ を満たす（補題 2.2 の (1) と同じ計算）ので、$\partial_tv=\Delta v$ です。$r\gt0$ について柱 $B(y,r)\times(0,T]$ に 定理 3.1 を使います。底面では $v\le u\le M$ です。側面 $|x-y|=r$ では、$T+\varepsilon-t\le T+\varepsilon$ から

$$v\le Ae^{a(|y|+r)^2}-\mu(T+\varepsilon)^{-n/2}e^{(a+\gamma)r^2}$$

で、$\gamma\gt0$ なので $r$ が十分大きければ右辺は $M$ 以下です。よって $v(y,t)\le M$、すなわち $u(y,t)\le M+\mu(T+\varepsilon-t)^{-n/2}$ で、$\mu\to0$ とすれば $u(y,t)\le M$ です。

一般の場合。 $T_1=1/(8a)$ として、$[0,T_1]$、$[T_1,2T_1]$、… に順に前半を適用します（各区間の初期時刻を $0$ とみなせばよい）。

∎

系 3.3（Cauchy 問題の一意性）✓

$g\in C(\mathbb{R}^n)$ とする。$\partial_tu=\Delta u$（$t\in(0,T]$）、$u(\cdot,0)=g$ を満たす $u\in C^{2,1}(\mathbb{R}^n\times(0,T])\cap C(\mathbb{R}^n\times[0,T])$ で、ある $A,a$ について $|u(x,t)|\le Ae^{a|x|^2}$ となるものは高々一つである。特に、有界な $g$ に対しては 定理 2.3 の解が唯一の有界な解である。

証明（系 3.3）

2 つの解の差 $w$ は初期値 $0$ で同じ形の増大度をもつので、定理 3.2 を $w$ と $-w$ に使えば $w=0$ です。

∎

次の注意は、増大度の条件を外すと一意性が壊れる例です。初期値 $0$ のまま、時間がたつと遠方で非常に大きくなる解が作れます。

注意 3.4（増大度の条件は外せない）

Tychonoff は、初期値 $0$ で恒等的に $0$ でない $\mathbb{R}\times(0,\infty)$ 上の熱方程式の解を構成しました。$u(x,t)=\sum_{k\ge0}\frac{g^{(k)}(t)}{(2k)!}x^{2k}$、$g(t)=e^{-t^{-\alpha}}$（$\alpha\gt1$）がそれで、$|x|\to\infty$ で $e^{a|x|^2}$ より速く増大します。構成と収束の評価は F. John の教科書の第 7 章にあります。

4. 熱半群 $e^{t\Delta}$

定義 4.1（熱半群）↗

$1\le p\le\infty$、$f\in L^p(\mathbb{R}^n)$ について $P_0f=f$、$t\gt0$ では $P_tf=\Phi_t*f$、すなわち $(P_tf)(x)=\int\Phi(x-y,t)f(y)\,dy$ とおく。

定理 4.2（熱半群の性質）✓

$1\le p\le\infty$ とする。

1. $\|P_tf\|_p\le\|f\|_p$。$f\ge0$ なら $P_tf\ge0$ で、$P_t1=1$。
2. $P_tP_s=P_{t+s}$（$t,s\ge0$）。
3. $1\le p\lt\infty$ なら、$f\in L^p$ について $\|P_tf-f\|_p\to0$（$t\to0$）。したがって $t\mapsto P_tf$ は $[0,\infty)$ から $L^p$ への連続写像である。
4. $t\gt0$ なら $P_tf\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ で、$(x,t)\mapsto P_tf(x)$ は $\mathbb{R}^n\times(0,\infty)$ で熱方程式を満たす。
5. $f\in C_c^2(\mathbb{R}^n)$ なら $\frac1t(P_tf-f)\to\Delta f$（$t\to0$）が $L^p$ で（$p\lt\infty$）、また一様に成り立つ。

証明（定理 4.2）

(1) $\Phi_t(y)\,dy$ は確率測度なので、Hölder の不等式（定理 4.2［L^p 空間と関数解析への導入］）で $|P_tf(x)|^p\le\int\Phi_t(y)|f(x-y)|^p\,dy$ です。$x$ で積分して Tonelli の定理（定理 3.3［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）を使えば $\|P_tf\|_p^p\le\|f\|_p^p$ です（$p=\infty$ は直接）。正値性と $P_t1=1$ は $\Phi_t\gt0$ と 補題 2.2 の (2) です。

(2) Fubini の定理で積分の順序を交換し、補題 2.2 の (4) を使います。

(3) (1) と同じ評価で

$$\|P_tf-f\|_p^p\le\int\Phi_t(y)\,\|\tau_yf-f\|_p^p\,dy=\int\Phi_1(z)\,\|\tau_{\sqrt tz}f-f\|_p^p\,dz$$

です（$\tau_yf=f(\cdot-y)$）。$C_c^\infty$ が $L^p$ で稠密（補題 2.2［Schwartz 空間と緩増加超関数］）でコンパクト台の連続関数は一様連続なので、$\|\tau_yf-f\|_p\to0$（$y\to0$）です。被積分関数は $2^p\|f\|_p^p\Phi_1$ で抑えられるので、優収束定理で右辺は $0$ に収束します。$t\gt0$ での連続性は (2) と (1) から $\|P_{t+h}f-P_tf\|_p\le\|P_{|h|}f-f\|_p$ の形に帰着します。

(4) 定理 2.3 の証明で、$\partial^\alpha_x\partial_t^k\Phi(x-\cdot,t)$ が局所一様に $L^{p'}$ の関数で抑えられること（$p'$ は共役指数）を使えば同じです。

(5) $u=P_tf$ について、積分記号下の微分で $\Delta(\Phi_t*f)=\Phi_t*\Delta f$ なので $\partial_tP_tf=\Delta P_tf=P_t\Delta f$ です。$\Delta f$ は有界で一様連続なので、定理 2.3 の証明から $P_s\Delta f\to\Delta f$ は一様で、$P_tf(x)-f(x)=\int_0^tP_s\Delta f(x)\,ds$ が成り立ちます。よって

$$\frac{P_tf-f}t-\Delta f=\frac1t\int_0^t\bigl(P_s\Delta f-\Delta f\bigr)ds$$

で、右辺は一様に $0$ に収束します。$L^p$ では、$g_s=P_s\Delta f-\Delta f$ とおいて Hölder の不等式 $\bigl|\frac1t\int_0^tg_s\,ds\bigr|^p\le\frac1t\int_0^t|g_s|^pds$ を $x$ で積分し Tonelli の定理を使うと、右辺の $L^p$ ノルムの $p$ 乗は $\sup_{0\lt s\le t}\|g_s\|_p^p$ 以下で、(3) から $0$ に収束します。

∎

(1)〜(3) は、$(P_t)$ が $L^p$（$p\lt\infty$）上の強連続な縮小半群（定義 4.1［1 径数ユニタリ群と強連続半群］）であることを言っています。(5) は、その生成子が $C_c^2$ 上で $\Delta$ に一致することです。$L^2$ では、Fourier 変換で対角化される自己共役作用素 $\Delta$（定義域 $H^2(\mathbb{R}^n)$）のスペクトル計算による $e^{t\Delta}$ が、まさにこの畳み込みに一致します（例 5.2［1 径数ユニタリ群と強連続半群］）。以下 $L^2$ 上では $P_t=e^{t\Delta}$ と書きます。

(5) の「生成子」は、半群の時間微分にあたるものです。$f$ を $P_t$ で $t$ だけ動かした変化 $P_tf-f$ を $t$ で割って $t\to0$ とすると、熱方程式の右辺 $\Delta f$ が現れる、というのが (5) の内容です。また (3) の証明の要点は、平行移動 $\tau_y$ で $f$ が $L^p$ のノルムでほとんど動かないこと（$C_c^\infty$ で近似して確かめる）と、$\Phi_t$ が $t\to0$ で原点に集中することの 2 つです。

5. Feynman–Kac 公式への橋

5.1. Brown 運動による表示

$B_t=(B_t^1,\ldots,B_t^n)$ を $n$ 次元の標準 Brown 運動（独立な $n$ 個の 1 次元標準 Brown 運動 定義 5.1［マルチンゲールとブラウン運動］ を並べたもの）とし、$x\in\mathbb{R}^n$ に対して $X_s^x=x+\sqrt2B_s$ とおきます。$X_t^x-x=\sqrt2B_t$ の各成分は独立で分散 $2t$ の正規分布に従うので、$X_t^x$ の分布の密度は $y\mapsto\Phi(y-x,t)$ です。

命題 5.1（熱半群の確率論的表示）✓

$0=t_0\lt t_1\lt\cdots\lt t_N$ とし、$F:(\mathbb{R}^n)^N\to\mathbb{R}$ を有界なボレル可測関数（または非負可測関数）とすると

$$E\bigl[F(X^x_{t_1},\ldots,X^x_{t_N})\bigr]=\int F(y_1,\ldots,y_N)\prod_{k=1}^N\Phi(y_k-y_{k-1},t_k-t_{k-1})\,dy_1\cdots dy_N\qquad(y_0=x).$$

特に $f$ が有界可測なら $P_tf(x)=E[f(X_t^x)]$ である。

証明（命題 5.1）

増分 $Z_k=X^x_{t_k}-X^x_{t_{k-1}}=\sqrt2(B_{t_k}-B_{t_{k-1}})$ は独立で、それぞれ密度 $\Phi(\cdot,t_k-t_{k-1})$ をもちます（Brown 運動の独立増分と正規増分）。よって $(Z_1,\ldots,Z_N)$ の同時密度は積 $\prod_k\Phi(z_k,t_k-t_{k-1})$ です。$X^x_{t_k}=x+z_1+\cdots+z_k$ なので、$F(x+z_1,\ldots,x+z_1+\cdots+z_N)$ の期待値をこの密度で書き、変数変換 $y_k=x+z_1+\cdots+z_k$（ヤコビアン $1$）をすれば主張の式です。

∎

右辺は、核 $\Phi(y_k-y_{k-1},t_k-t_{k-1})$ の積分作用素を順に施したものです。たとえば $N=2$ なら、時刻 $t_1$ の位置 $y_1$ を経由して時刻 $t_2$ の位置 $y_2$ に着く確率密度が $\Phi(y_1-x,t_1)\Phi(y_2-y_1,t_2-t_1)$ で、$y_2$ から $y_1$ の順に積分すれば作用素を交互に施した形になります。たとえば $F(y_1,\ldots,y_N)=f_1(y_1)\cdots f_N(y_N)$ なら、右辺は $P_{t_1}\bigl(f_1P_{t_2-t_1}(f_2\cdots P_{t_N-t_{N-1}}f_N)\bigr)(x)$ です（$f_k$ の掛け算と $P$ を交互に施す）。これが Brown 運動のMarkov 性の解析的な表現です。

5.2. Feynman–Kac 公式

次の定理の証明の筋は 3 段です。まず Trotter 積公式で $e^{-tH}$ を、熱半群 $e^{\tau\Delta}$ と掛け算 $e^{-\tau V}$ を交互に施す作用素の $N$ 回の積の極限として表します。次にこの積を、前節の Brown 運動の表示で期待値に書き直します。最後に $N\to\infty$ で、和が積分 $\int_0^tV(X_s^x)\,ds$ になります。

定理 5.2（Feynman–Kac 公式（有界連続ポテンシャル））✓

$V:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ を有界連続関数とし、$H=-\Delta+V$ を $L^2(\mathbb{R}^n)$ 上の作用素（定義域は $-\Delta$ と同じ）とする。$H$ は下に有界な自己共役作用素で、$f\in L^2\cap L^\infty$、$t\ge0$ について、ほとんどすべての $x$ で

$$(e^{-tH}f)(x)=E\Bigl[\exp\Bigl(-\int_0^tV(X_s^x)\,ds\Bigr)f(X_t^x)\Bigr]$$

が成り立つ。

証明（定理 5.2）

自己共役性。 $V$ の掛け算は有界な自己共役作用素なので、相対限界 $0$ の摂動として Kato–Rellich の定理（定理 3.2［自己共役性の判定］）から $H$ は $D(-\Delta)$ 上で自己共役、$H\ge-\|V\|_\infty$ です。

Trotter 積公式。 $A=-\Delta\ge0$、$B=V$ はともに下に有界な自己共役作用素で、$A+B=H$ は $D(A)\cap D(B)=D(A)$ 上で自己共役です。定理 6.1［1 径数ユニタリ群と強連続半群］ の 2 から、$\tau=t/N$ として

$$e^{-tH}f=\lim_{N\to\infty}\bigl(e^{\tau\Delta}e^{-\tau V}\bigr)^Nf\qquad(L^2\text{ で})$$

です。$e^{-\tau V}$ は関数 $e^{-\tau V}$ の掛け算です。

有限次元分布で書く。 命題 5.1 の後の注意（$t_k=k\tau$、$f_k=e^{-\tau V}$、最後だけ $f_N=e^{-\tau V}f$）から

$$\bigl(e^{\tau\Delta}e^{-\tau V}\bigr)^Nf(x)=E\Bigl[\exp\Bigl(-\tau\sum_{k=1}^NV(X^x_{k\tau})\Bigr)f(X^x_t)\Bigr]$$

が、すべての $x$ で成り立ちます。

極限。 確率 $1$ で $s\mapsto X^x_s$ は連続なので、$V(X^x_s)$ は $[0,t]$ 上連続で、Riemann 和 $\tau\sum_kV(X^x_{k\tau})$ は $\int_0^tV(X^x_s)\,ds$ に収束します。被積分関数は $e^{t\|V\|_\infty}\|f\|_\infty$ で抑えられるので、優収束定理から右辺は各 $x$ で主張の右辺に収束します。右辺の関数列は一様に有界なので、各有界集合 $D$ 上では優収束定理により $L^2(D)$ でも収束します。一方、左辺は $L^2$ で、したがって $L^2(D)$ で $e^{-tH}f$ に収束します。$L^2(D)$ での極限は一意なので、$D$ 上ほとんど至るところ両辺は一致し、$D$ は任意です。

∎

右辺は、Brown 運動の経路 $s\mapsto X^x_s$ ごとに重み $e^{-\int_0^tV}$ をつけた平均で、経路積分の数学的に厳密な形です。$V\ge0$ なら重みは $1$ 以下で、$|e^{-tH}f|\le e^{t\Delta}|f|$ が直ちにわかります。Schrödinger 作用素の基底状態の正値性や、場の理論の Euclid 経路積分（Euclid 経路積分）は、この表示の延長線上にあります。$V$ が有界でない場合（Coulomb ポテンシャルなど）への拡張には、Trotter 積公式の形式版と単調収束の議論が要ります。

注意 5.3（偏微分方程式としての読み方）

$u(x,t)=(e^{-tH}f)(x)$ は、形式的には $\partial_tu=\Delta u-Vu$、$u(\cdot,0)=f$ の解です。$V=0$ のとき公式は 命題 5.1 の $P_tf(x)=E[f(X^x_t)]$ に戻ります。$X^x$ の生成子が $\Delta$（$\frac12\Delta$ ではない）になるように $\sqrt2$ を入れているので、確率論の文献の $\frac12\Delta$ の規約と比べるときは時間を $2$ 倍します。

6. 演習

演習 6.1易

$\int_{\mathbb{R}^n}|x|^2\Phi(x,t)\,dx=2nt$ を示せ。また $u(x,t)=|x|^2+2nt$ が熱方程式の解であることを確かめよ。

解答

$\Phi_t$ は各成分が独立な分散 $2t$ の正規分布の密度の積なので、$\int x_i^2\Phi_t\,dx=2t$、足して $2nt$ です。直接計算するなら $n=1$ で $\int y^2e^{-y^2/4t}dy=2t\sqrt{4\pi t}$（部分積分と Gauss 積分）です。後半は $\partial_tu=2n$、$\Delta|x|^2=2n$ です。前半は後半と $P_t(|x|^2)(0)=E|X^0_t|^2$ からも読めます。

演習 6.2標準

$U$ を滑らかな境界をもつ有界領域とし、$w\in C^{2,1}(\bar U\times[0,T])$ が $\partial_tw=\Delta w$、$\partial U$ 上で $w=0$ を満たすとする。$E(t)=\int_Uw(x,t)^2dx$ が単調減少であることを示し、初期値・境界値問題の一意性をエネルギーの方法で証明せよ。

解答

積分記号下で微分し、Green の公式（系 2.2［ラプラス方程式と調和関数］）と境界で $w=0$ を使うと

$$E'(t)=2\int_Uw\,\partial_tw\,dx=2\int_Uw\Delta w\,dx=-2\int_U|\nabla w|^2dx\le0$$

です。2 つの解の差 $w$ は $E(0)=0$ なので $E(t)=0$、よって $w=0$ です。最大値原理と違い、この方法は $L^2$ の量だけを使うので、第 4 章の弱解の理論にそのまま延びます。

演習 6.3標準

$f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ なら $\|P_tf\|_\infty\le(4\pi t)^{-n/2}\|f\|_1$ を示せ。$f\ge0$ のとき、$\int P_tf=\int f$ と合わせて、この評価が「総量を保ったまま $\sqrt t$ の幅に広がる」ことの定量的な表現であることを説明せよ。

解答

$\Phi_t\le(4\pi t)^{-n/2}$ なので $|P_tf(x)|\le(4\pi t)^{-n/2}\int|f|$ です。$\int P_tf=\int f$ は Tonelli の定理と $\int\Phi_t=1$ から出ます。総量 $m$ が体積 $\sim t^{n/2}$ の領域に広がれば高さは $\sim mt^{-n/2}$ で、評価はこの次元解析と一致します。

演習 6.4難

$V_1\le V_2$ を有界連続関数、$H_j=-\Delta+V_j$ とする。$f\ge0$、$f\in L^2\cap L^\infty$ なら、ほとんど至るところ $0\le e^{-tH_2}f\le e^{-tH_1}f$ であることを示せ。$V$ が定数 $c$ のときに 定理 5.2 の両辺がともに $e^{-ct}P_tf$ になることも確かめよ。

解答

定理 5.2 の右辺で、各経路について $0\le\exp(-\int_0^tV_2)\le\exp(-\int_0^tV_1)$ なので、$f\ge0$ を掛けて期待値をとれば主張です。$V=c$ なら $\exp(-\int_0^tc\,ds)=e^{-ct}$ は確定値で、右辺は $e^{-ct}E[f(X^x_t)]=e^{-ct}P_tf(x)$。左辺は、$H=-\Delta+c$ と $-\Delta$ がスペクトル計算で $e^{-tH}=e^{-ct}e^{t\Delta}$ を満たすことから同じです。

参考文献

• L. C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., American Mathematical Society, 2010 — Chapter 2.3（基本解・最大値原理・一意性）。
• F. John, Partial Differential Equations, 4th ed., Springer, 1982 — Chapter 7（熱方程式と Tychonoff の例）。
• B. Simon, Functional Integration and Quantum Physics, 2nd ed., AMS Chelsea Publishing, 2005 — Part I（Feynman–Kac 公式）。
• I. Karatzas, S. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., Springer, 1991 — Section 4.4（Feynman–Kac 公式）。
• 俣野博・神保道夫『熱・波動と微分方程式』岩波書店、2004 — 熱方程式の章。