数学 › 偏微分方程式 › 熱方程式

熱半群の確率論的表示

命題 5.1（「熱方程式」§5） ・ ✓公理まで証明済み

0=t0<t1<⋯<tN0=t_0\lt t_1\lt\cdots\lt t_N とし、F:(Rn)N→RF:(\mathbb{R}^n)^N\to\mathbb{R} を有界なボレル可測関数（または非負可測関数）とすると

E[F(Xt1x,…,XtNx)]=∫F(y1,…,yN)∏k=1NΦ(yk−yk−1,tk−tk−1) dy1⋯dyN(y0=x).E\bigl[F(X^x_{t_1},\ldots,X^x_{t_N})\bigr]=\int F(y_1,\ldots,y_N)\prod_{k=1}^N\Phi(y_k-y_{k-1},t_k-t_{k-1})\,dy_1\cdots dy_N\qquad(y_0=x).

特に ff が有界可測なら Ptf(x)=E[f(Xtx)]P_tf(x)=E[f(X_t^x)] である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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