Feynman–Kac 公式（有界連続ポテンシャル）

定理 5.2（「熱方程式」§5）・ ✓公理まで証明済み

$V:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ を有界連続関数とし、 $H=-\Delta+V$ を $L^2(\mathbb{R}^n)$ 上の作用素（定義域は $-\Delta$ と同じ）とする。 $H$ は下に有界な自己共役作用素で、 $f\in L^2\cap L^\infty$ 、 $t\ge0$ について、ほとんどすべての $x$ で

(e^{-tH}f)(x)=E\Bigl[\exp\Bigl(-\int_0^tV(X_s^x)\,ds\Bigr)f(X_t^x)\Bigr]

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 39 件、定義なども含めて 40 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Kato–Rellich の定理✓定理 3.2・自己共役性の判定
- 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
Trotter 積公式✓定理 6.1・1 径数ユニタリ群と強連続半群
- 自己共役作用素が定めるユニタリ群✓命題 2.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群
- 本質的自己共役な和の Trotter 積公式✓系 7.4・Banach 空間の強連続半群
  - 自己共役作用素が生成する半群✓系 4.7・1 径数ユニタリ群と強連続半群（上で展開済み）
  - Trotter 積公式（Banach 空間版）✓系 7.3・Banach 空間の強連続半群（上で展開済み）
- 自己共役作用素が生成する半群✓系 4.7・1 径数ユニタリ群と強連続半群
  - Lumer–Phillips の定理（Hilbert 空間版）✓定理 4.6・1 径数ユニタリ群と強連続半群
    Hille–吉田の定理✓定理 4.3・1 径数ユニタリ群と強連続半群この先をたどる →
  - 自己共役作用素が定めるユニタリ群✓命題 2.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群
  - Stone の定理✓定理 3.1・1 径数ユニタリ群と強連続半群
    自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
    自己共役作用素が定めるユニタリ群✓命題 2.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群
- Trotter 積公式（Banach 空間版）✓系 7.3・Banach 空間の強連続半群
  - Chernoff の積公式✓定理 7.2・Banach 空間の強連続半群
    Trotter–Kato の近似定理✓定理 6.1・Banach 空間の強連続半群この先をたどる →
    Chernoff の √n 評価✓補題 7.1・Banach 空間の強連続半群
熱半群の確率論的表示✓命題 5.1・熱方程式

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Feynman–Kac 公式（有界連続ポテンシャル）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）