楕円型方程式の弱解と変分法：Lax–Milgram の定理・Gårding 不等式・Dirichlet 原理・直接法

0. この記事の要点

太鼓や膜の形のように、領域の縁で値を $0$ に固定した方程式を考えます。係数が場所ごとに変わったり領域が複雑だったりすると、解を式で書くことはできません。そこで「方程式を積分した形で満たす」ところまで解の条件をゆるめ、広い関数の空間の中で解を探します。この記事を読むと、そのような解が（係数に適当な条件のもとで）ただ一つ存在することの証明と、解が「エネルギーの最小点」でもあることの証明が分かります。

• 発散形の楕円型方程式 $-\sum_{i,j}\partial_j(a^{ij}\partial_iu)+\sum_ib^i\partial_iu+cu=f$ を部分積分した形で読み、弱解を Sobolev 空間 $H^1_0(\Omega)$ の元として定義します。境界条件 $u=0$ は「$u\in H^1_0$」に置き換わります。
• Lax–Milgram の定理: Hilbert 空間上の有界で強圧的な双線形形式 $B$ について、$B[u,v]=F(v)$ はただ一つの解をもちます。Riesz の表現定理の非対称版です。
• Gårding 不等式 $\beta\|u\|_{H^1}^2\le B[u,u]+\gamma\|u\|_{L^2}^2$ により、十分大きな $\mu$ で $Lu+\mu u=f$ が一意に解けます。Rellich のコンパクト性と合わせると Fredholm の択一が成り立ちます。
• Dirichlet 原理: $-\Delta u=f$ の弱解は、エネルギー $\int(\frac12|\nabla w|^2-fw)$ の $H^1_0$ での最小点と同じものです。凸で強圧的な積分汎関数は最小点をもち（直接法）、最小点は弱い意味の Euler–Lagrange 方程式を満たします。
• 対称な場合、$B$ は $H^1_0$ を定義域とする下に有界な閉形式で、表現定理により自己共役作用素（Dirichlet 境界条件つきの $L$）が決まります。$-\Delta$ では Friedrichs 拡大 $-\Delta_D$ です。

この記事で使う事前知識

• Hilbert 空間: 内積をもち、ノルムについて完備な線形空間。→ Hilbert 空間
• 有界線形汎関数: 空間から実数への線形写像で、ノルムの定数倍で抑えられるもの。Riesz の表現定理は、これが内積の形に書けることを述べます。→ 有界線形汎関数
• 弱収束: どの元 $v$ との内積も、極限の元と $v$ との内積に収束する、という弱い意味の収束。→ 弱収束
• Sobolev 空間: 弱微分（部分積分で定義した微分）が $L^2$ に入る関数の空間。→ Sobolev 空間
• 自己共役作用素と閉形式: 作用素 $T$ が対称で、定義域がちょうど合っているもの。下に有界な対称形式からそのような作用素が決まります。→ 自己共役性の判定

1. 動機

前章までの古典解の理論は、解の公式や最大値原理に頼っていました。しかし、係数が変数に依存する方程式や一般の領域では、解の公式はありません。そこで発想を逆にして、まず「解の候補」を広い関数空間で作り、あとで滑らかさを調べます。存在と正則性を分けるこの方針が、20 世紀の偏微分方程式論の基本戦略です。

起源は Dirichlet 原理です。Riemann は「$\int|\nabla w|^2$ を境界値を固定して最小にする $w$ は調和関数である」と考えて Dirichlet 問題の解の存在を論じましたが、Weierstrass は最小値が達成されるとは限らないと批判しました（下限をとる関数が存在しない汎関数の例を挙げた）。Hilbert は 1900 年頃に最小化列の収束を示して原理を救いました。現代的には、最小化列が**弱収束**する部分列をもち、エネルギーが弱収束に関して下半連続（弱収束の極限で値が大きくならない、という性質）であることが鍵です。完備な Hilbert 空間 $H^1_0$ を舞台に選ぶことが、Weierstrass の批判への答えになります。

作用素論の側から見ると、この章は 自己共役性の判定 の形式の方法（閉形式の表現定理・Friedrichs 拡大・KLMN の定理）を、具体的な微分作用素に当てはめたものです。

2. 準備

以下、関数はすべて実数値とし、$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を有界な開集合とします。$\langle u,v\rangle=\int_\Omega uv\,dx$、$\|u\|=\|u\|_{L^2(\Omega)}$ と書きます。Hilbert 空間の結果（Riesz の表現定理、射影定理、弱収束）は実 Hilbert 空間でも同じ証明で成り立つので、そのまま使います。複素 Hilbert 空間で述べられた作用素論の結果（Fredholm の択一定理、閉形式の表現定理）を使うときは、$L^2(\Omega)$ を複素数値関数の空間に広げ、双線形形式を半双線形に延ばして適用します。係数が実数なので、実数値の関数には実数値の答えが返ります。

Sobolev 空間 の記号で $H^1(\Omega)=W^{1,2}(\Omega)$、$H^1_0(\Omega)=W^{1,2}_0(\Omega)$（$C_c^\infty(\Omega)$ の $H^1$ ノルムでの閉包）とし、$\|u\|_{H^1}^2=\|u\|^2+\|\nabla u\|^2$ とします（定義 2.1［Sobolev 空間］）。$H^1(\Omega)$ は Hilbert 空間（命題 2.3［Sobolev 空間］）で、$H^1_0(\Omega)$ はその閉部分空間です。

補題 2.1（Poincaré の不等式）✓

$\Omega$ がある方向の幅 $d$ の帯 $\{a\lt x_1\lt a+d\}$ に含まれるなら、すべての $u\in H^1_0(\Omega)$ について $\|u\|\le d\,\|\partial_1u\|$ である。特に $\|\nabla u\|$ は $H^1_0(\Omega)$ 上で $\|u\|_{H^1}$ と同値なノルムである。

証明（補題 2.1）

$\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ を $0$ で延長すると、$x=(x_1,x')$ について $\varphi(x)=\int_a^{x_1}\partial_1\varphi(s,x')\,ds$ です。Cauchy–Schwarz の不等式で $|\varphi(x)|^2\le d\int_a^{a+d}|\partial_1\varphi(s,x')|^2ds$ で、$x_1\in(a,a+d)$ と $x'$ について積分すると $\|\varphi\|^2\le d^2\|\partial_1\varphi\|^2$ です。両辺は $H^1$ ノルムについて連続なので、閉包 $H^1_0(\Omega)$ に延びます。後半は $\|\nabla u\|^2\le\|u\|_{H^1}^2\le(1+d^2)\|\nabla u\|^2$ からです。

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境界で $0$ という条件は外せません。定数関数 $1\in H^1(\Omega)$ は $\nabla1=0$ ですが $\|1\|\ne0$ です。

3. 弱解と Lax–Milgram の定理

係数 $a^{ij},b^i,c\in L^\infty(\Omega)$（$1\le i,j\le n$）に対し、作用素

$$Lu=-\sum_{i,j=1}^n\partial_j\bigl(a^{ij}\partial_iu\bigr)+\sum_{i=1}^nb^i\partial_iu+cu$$

を考えます。ある $\theta\gt0$ について、ほとんどすべての $x$ と全ての $\xi\in\mathbb{R}^n$ で $\sum_{i,j}a^{ij}(x)\xi_i\xi_j\ge\theta|\xi|^2$ が成り立つとき、$L$ は一様楕円型であるといいます。以下この条件を仮定します。

定義 3.1（弱解）↗

$u,v\in H^1_0(\Omega)$ について

$$B[u,v]=\int_\Omega\Bigl(\sum_{i,j}a^{ij}\,\partial_iu\,\partial_jv+\sum_ib^i\,\partial_iu\,v+c\,uv\Bigr)dx$$

とおく。$f\in L^2(\Omega)$ に対し、$u\in H^1_0(\Omega)$ がすべての $v\in H^1_0(\Omega)$ で $B[u,v]=\langle f,v\rangle$ を満たすとき、$u$ を Dirichlet 問題 $Lu=f$（$\Omega$ 内）、$u=0$（$\partial\Omega$ 上）の弱解という。

係数が滑らかで $u\in C^2(\Omega)$ が古典的に $Lu=f$ を満たすなら、$v\in C_c^\infty(\Omega)$ を掛けて部分積分すると（境界項は $v$ の台がコンパクトなので出ない）$B[u,v]=\langle f,v\rangle$ です。$C_c^\infty(\Omega)$ は $H^1_0(\Omega)$ で稠密で両辺は $v$ について連続なので、$u\in H^1_0$ でもあれば弱解です。逆に弱解が滑らかなら古典解であることは、次章の正則性の理論の主題です。

定理 3.2（Lax–Milgram の定理）✓

$H$ を実 Hilbert 空間、$B:H\times H\to\mathbb{R}$ を双線形形式とし、定数 $\alpha,\beta\gt0$ について

$$|B[u,v]|\le\alpha\|u\|\|v\|,\qquad B[u,u]\ge\beta\|u\|^2\qquad(u,v\in H)$$

が成り立つとする。このとき任意の有界線形汎関数 $F\in H^*$ に対し、すべての $v\in H$ で $B[u,v]=F(v)$ を満たす $u\in H$ がただ一つ存在し、$\|u\|\le\|F\|/\beta$ である。

証明の方針は次のとおりです。$B[u,\cdot]$ を Riesz の表現定理で $H$ の元 $Au$ に直すと、求めるものは $Au=f$ を解くことになります。そこで $A$ が単射で、値域が閉かつ稠密（したがって全体）であることを順に示します。

証明（定理 3.2）

$u$ を固定すると $v\mapsto B[u,v]$ は有界線形汎関数なので、Riesz の表現定理（定理 4.2［Hilbert 空間の基礎］）により $B[u,v]=\langle Au,v\rangle$ となる $Au\in H$ がただ一つあります。一意性から $A$ は線形で、$\|Au\|=\sup_{\|v\|\le1}B[u,v]\le\alpha\|u\|$ です。

$A$ は単射で値域は閉。 $\beta\|u\|^2\le B[u,u]=\langle Au,u\rangle\le\|Au\|\|u\|$ から $\|Au\|\ge\beta\|u\|$ です。単射性はこれから明らかです。$Au_k\to w$ なら $\|u_k-u_l\|\le\beta^{-1}\|Au_k-Au_l\|$ なので $(u_k)$ は Cauchy 列で、極限 $u$ について $Au=w$ です。

値域は稠密。 $w\perp A(H)$ なら $0=\langle Aw,w\rangle=B[w,w]\ge\beta\|w\|^2$ なので $w=0$ です。系 3.7［Hilbert 空間の基礎］ から値域は稠密で、閉なので $H$ 全体です。

結論。 $F(v)=\langle f,v\rangle$ となる $f$ を Riesz の表現定理でとり、$u=A^{-1}f$ とすれば $B[u,v]=\langle f,v\rangle=F(v)$ です。一意性は $A$ の単射性、評価は $\beta\|u\|\le\|Au\|=\|f\|=\|F\|$ です。

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$B$ が対称なら、$B$ 自身が $H$ の同値な内積で、定理は Riesz の表現定理そのものです。Lax–Milgram の定理の価値は、1 階の項 $b^i\partial_iu$ がある非対称な場合にも使えることにあります。

4. Gårding 不等式と存在定理

定理 4.1（Gårding 不等式（エネルギー評価））✓

定数 $\alpha,\beta\gt0$、$\gamma\ge0$ があって、すべての $u,v\in H^1_0(\Omega)$ について

$$|B[u,v]|\le\alpha\|u\|_{H^1}\|v\|_{H^1},\qquad\beta\|u\|_{H^1}^2\le B[u,u]+\gamma\|u\|^2 .$$

$\beta=\theta/2$、$\gamma=\frac{\|b\|_\infty^2}{2\theta}+\|c\|_\infty+\frac\theta2$ ととれる。ここで $\|b\|_\infty=\operatorname{ess\,sup}_x|b(x)|$（$b=(b^1,\ldots,b^n)$）である。

証明の途中の不等式 $ab\le\frac\theta2a^2+\frac1{2\theta}b^2$ は、1 階の項に $a=\|\nabla u\|$、$b=\|b\|_\infty\|u\|$ を当てはめて使います。$\|\nabla u\|$ の項を左辺に吸収し、$\|u\|^2$ の項に回すのがねらいです。

証明（定理 4.1）

第 1 式は、各項に Cauchy–Schwarz の不等式を使えば、$\alpha$ を係数の $L^\infty$ ノルムの和にとって成り立ちます。第 2 式は、楕円性と、$ab\le\frac\theta2a^2+\frac1{2\theta}b^2$ の形の不等式から

$$\theta\|\nabla u\|^2\le\int\sum a^{ij}\partial_iu\,\partial_ju=B[u,u]-\int\Bigl(\sum b^i\partial_iu\Bigr)u-\int cu^2\le B[u,u]+\frac\theta2\|\nabla u\|^2+\frac{\|b\|_\infty^2}{2\theta}\|u\|^2+\|c\|_\infty\|u\|^2$$

です。$\frac\theta2\|\nabla u\|^2$ を左辺に移し、両辺に $\frac\theta2\|u\|^2$ を足せば主張です。

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定理 4.2（弱解の存在と一意性）✓

定理 4.1 の $\gamma$ について、$\mu\ge\gamma$ なら、任意の $f\in L^2(\Omega)$ に対し $Lu+\mu u=f$ の弱解 $u\in H^1_0(\Omega)$ がただ一つ存在し、$\|u\|_{H^1}\le\beta^{-1}\|f\|$ を満たす。さらに $b=0$、$c\ge0$（a.e.）なら $\mu=0$ でも同じ結論が成り立つ。

証明（定理 4.2）

$B_\mu[u,v]=B[u,v]+\mu\langle u,v\rangle$ は有界で、定理 4.1 から $B_\mu[u,u]\ge\beta\|u\|_{H^1}^2$ です。$F(v)=\langle f,v\rangle$ は $|F(v)|\le\|f\|\|v\|_{H^1}$ を満たすので、定理 3.2 を $H=H^1_0(\Omega)$ に使います。後半は、$b=0$、$c\ge0$ なら $B[u,u]\ge\theta\|\nabla u\|^2\ge\frac\theta{1+d^2}\|u\|_{H^1}^2$（補題 2.1、$d$ は $\Omega$ の直径）なので、同じ議論が $\mu=0$ で使えるからです。

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定理 4.3（Fredholm の択一）✓

次のいずれか一方だけが成り立つ。

• (a) 任意の $f\in L^2(\Omega)$ に対し、$Lu=f$ の弱解 $u\in H^1_0(\Omega)$ がただ一つ存在する。
• (b) $Lu=0$ が $0$ でない弱解 $u\in H^1_0(\Omega)$ をもつ。

(b) の場合、$Lu=0$ の弱解全体は有限次元である。

証明の方針は次のとおりです。前の定理により、$\gamma$ を足した方程式 $Lu+\gamma u=f$ は常に解けるので、その解を与える写像 $G$ が使えます。$G$ は $L^2$ から $H^1_0$ への写像ですが、$H^1_0$ から $L^2$ への包含がコンパクトなので、$L^2$ から $L^2$ への作用素とみるとコンパクトになります。$Lu=f$ を $u=K(f+\gamma u)$ と書き直して整理すると $\lambda=1/\gamma$ の形が現れ、コンパクト作用素の Fredholm の択一が使えます。

証明（定理 4.3）

$\gamma\gt0$ を 定理 4.2 のとおりとし（$\gamma=0$ なら大きくとり直す）、$f\in L^2$ に $Lu+\gamma u=f$ の弱解を対応させる写像を $G:L^2\to H^1_0$ とします。$G$ は有界線形で、包含 $H^1_0(\Omega)\to L^2(\Omega)$ はコンパクト（系 5.2［Sobolev 空間］）なので、$K=G$ を $L^2$ から $L^2$ への作用素とみたものはコンパクトです（命題 3.2［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］）。

$u\in H^1_0$ が $Lu=f$ の弱解であることは、$Lu+\gamma u=f+\gamma u$ の弱解であること、すなわち $u=K(f+\gamma u)$ と同値です。逆に $u\in L^2$ が $u=K(f+\gamma u)$ を満たせば $u\in G(L^2)\subset H^1_0$ なので、$L^2$ の方程式

$$\Bigl(K-\frac1\gamma\Bigr)u=-\frac1\gamma Kf$$

の解と $Lu=f$ の弱解は一致します。定理 5.3［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ を $\lambda=1/\gamma$ に使えば、(a) 右辺がどんな $L^2$ の元でも一意に解けるか、(b) $\operatorname{Ker}(K-1/\gamma)\ne\{0\}$（有限次元）のどちらかです。(a) の場合は特に $-\frac1\gamma Kf$ の形の右辺について一意に解け、(b) の核は $f=0$ の場合、すなわち $Lu=0$ の弱解全体です。

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第 6 章で見るように、$L=-\Delta-\lambda$ では (b) が起きるのはちょうど $\lambda$ が Dirichlet ラプラシアンの固有値のときです。

5. Dirichlet 原理と直接法

定理 5.1（Dirichlet 原理）✓

$f\in L^2(\Omega)$ とし、$I[w]=\int_\Omega\bigl(\frac12|\nabla w|^2-fw\bigr)dx$（$w\in H^1_0(\Omega)$）とおく。$u\in H^1_0(\Omega)$ について次は同値である。

1. $u$ は $-\Delta u=f$ の弱解である。すなわち、すべての $v\in H^1_0$ で $\langle\nabla u,\nabla v\rangle=\langle f,v\rangle$。
2. $I[u]=\min_{w\in H^1_0(\Omega)}I[w]$。

このような $u$ はただ一つ存在する。

証明（定理 5.1）

$u,v\in H^1_0$ と $t\in\mathbb{R}$ について、展開すると

$$I[u+tv]=I[u]+t\bigl(\langle\nabla u,\nabla v\rangle-\langle f,v\rangle\bigr)+\frac{t^2}2\|\nabla v\|^2$$

です。1 なら第 2 項が消えるので $I[u+v]\ge I[u]$ で、2 が成り立ちます。2 なら $t\mapsto I[u+tv]$ は $t=0$ で最小なので、$t$ の 1 次の係数は $0$ で、1 が成り立ちます。存在と一意性は 定理 4.2（$b=0$、$c=0$）からです。

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この定理では存在を Lax–Milgram の定理で得ました。次の定理は、最小点を直接作る方法（直接法）で、非線形の汎関数にも使えます。

定理 5.2（凸積分汎関数の直接法）✓

$F:\Omega\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$、$G:\Omega\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は、$x$ について可測、$p$（または $z$）について凸で $C^1$ 級とし、定数 $\lambda\gt0$、$C\ge0$ と $g_0\in L^1(\Omega)$、$g_1\in L^2(\Omega)$ について次を満たすとする。

$$\lambda|p|^2-g_0(x)\le F(x,p)\le C|p|^2+g_0(x),\qquad|\nabla_pF(x,p)|\le C|p|+g_1(x),$$$$|G(x,z)|\le Cz^2+g_0(x),\qquad|\partial_zG(x,z)|\le C|z|+g_1(x).$$

このとき $I[w]=\int_\Omega\bigl(F(x,\nabla w)+G(x,w)\bigr)dx$ は $H^1_0(\Omega)$ 上で最小値をとる。

証明は 3 段階です。まず $I$ が下に有界で、最小化列が有界になること（強圧性）を示します。次にその列から弱収束する部分列を取り出します。最後に、凸関数のグラフが接線より上にあることを積分して、極限の値が列の値の極限以下になること（弱下半連続性）を示し、極限が最小点であると結論します。途中で閉線形包（列が張る閉部分空間）に移るのは、そこで弱収束する部分列を取り出し、あとで $H^1_0$ 全体に戻すためです。

証明（定理 5.2）

仮定から $I$ は $H^1_0$ 上の有限な値をとります。

強圧性。 $G$ の凸性から $G(x,z)\ge G(x,0)+\partial_zG(x,0)z\ge-g_0-g_1|z|$ なので、補題 2.1（$d$ は $\Omega$ の直径）と Cauchy–Schwarz の不等式から

$$I[w]\ge\lambda\|\nabla w\|^2-2\|g_0\|_{L^1}-\|g_1\|\,d\,\|\nabla w\|$$

です。よって $I$ は下に有界で、$I[w]\le M$ となる $w$ 全体は $H^1_0$ で有界です。

最小化列と弱収束。 $m=\inf I$ とし、$I[w_k]\to m$ となる列をとると、$(w_k)$ は $H^1_0$ で有界です。$(w_k)$ の閉線形包 $H_0$ は可分な Hilbert 空間なので、定理 5.5［Hilbert 空間の基礎］ により $H_0$ で弱収束する部分列（同じ記号で書く）と極限 $w\in H_0\subset H^1_0$ があります。$H^1_0$ の任意の元 $z$ は $H_0$ への射影 $Pz$ と直交成分に分かれ、$\langle w_k,z\rangle_{H^1}=\langle w_k,Pz\rangle_{H^1}$ なので、$w_k\rightharpoonup w$ は $H^1_0$ でも成り立ちます。写像 $w\mapsto\partial_iw$、$w\mapsto w$ は $H^1_0$ から $L^2$ への有界線形写像なので、$L^2$ で $\nabla w_k\rightharpoonup\nabla w$、$w_k\rightharpoonup w$ です。

弱下半連続性。 凸な $C^1$ 関数は接平面の上にあるので、$F(x,q)\ge F(x,p)+\nabla_pF(x,p)\cdot(q-p)$、$G$ も同様です。$p=\nabla w$、$q=\nabla w_k$ として積分すると

$$I[w_k]\ge I[w]+\int\nabla_pF(x,\nabla w)\cdot(\nabla w_k-\nabla w)\,dx+\int\partial_zG(x,w)(w_k-w)\,dx$$

です。増大度の仮定から $\nabla_pF(x,\nabla w)\in L^2$、$\partial_zG(x,w)\in L^2$ なので、弱収束から最後の 2 項は $0$ に収束します。よって $I[w]\le\liminf I[w_k]=m$ で、$w$ は最小点です。

∎

証明の 3 段階（強圧性 → 弱コンパクト性 → 弱下半連続性）が直接法の型です。凸性は弱下半連続性のためだけに使いました。凸性がないと、最小化列が細かく振動して下限が達成されないことがあります（Weierstrass の批判の現代版）。

定理 5.3（Euler–Lagrange 方程式）✓

定理 5.2 の仮定のもとで、$u\in H^1_0(\Omega)$ について次は同値である。

1. $u$ は $I$ の最小点である。
2. すべての $v\in H^1_0(\Omega)$ で

$$\int_\Omega\Bigl(\nabla_pF(x,\nabla u)\cdot\nabla v+\partial_zG(x,u)\,v\Bigr)dx=0 .$$

すなわち $u$ は $-\operatorname{div}\bigl(\nabla_pF(x,\nabla u)\bigr)+\partial_zG(x,u)=0$、$u|_{\partial\Omega}=0$ の弱解である。

証明（定理 5.3）

1 ⇒ 2. $j(t)=I[u+tv]$ は $t=0$ で最小です。$0\lt|t|\le1$ について

$$\frac{F(x,\nabla u+t\nabla v)-F(x,\nabla u)}t=\int_0^1\nabla_pF(x,\nabla u+st\nabla v)\cdot\nabla v\,ds$$

で、右辺の絶対値は $\bigl(C(|\nabla u|+|\nabla v|)+g_1\bigr)|\nabla v|\in L^1$ で抑えられ、$t\to0$ で $\nabla_pF(x,\nabla u)\cdot\nabla v$ に収束します。$G$ の項も同様なので、優収束定理から $j$ は $t=0$ で微分可能で、$j'(0)$ が 2 の左辺です。最小点なので $j'(0)=0$ です。

2 ⇒ 1. 定理 5.2 の証明の接平面の不等式を $w$ と $u$ について使うと、$I[w]\ge I[u]+(\text{2 の左辺で }v=w-u)=I[u]$ です。

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例 5.4（変分問題の例）

1. $F=\frac12|p|^2$、$G=-f(x)z$（$f\in L^2$）: Euler–Lagrange 方程式は $-\Delta u=f$ で、定理 5.1 に戻ります。
2. $F=\frac12\sum_{i,j}a^{ij}(x)p_ip_j$（$a^{ij}=a^{ji}$、一様楕円型）、$G=\frac12c(x)z^2-f(x)z$（$c\ge0$）: 対称な線形方程式 $-\sum\partial_j(a^{ij}\partial_iu)+cu=f$ です。
3. $F=\frac12|p|^2$、$G=\log\cosh z-f(x)z$: $G$ は凸で $|\partial_zG|=|\tanh z-f|\le1+|f|$ なので定理が使え、非線形方程式 $-\Delta u+\tanh u=f$ の弱解が得られます。$F$ が狭義凸なので、2 つの最小点 $u_1,u_2$ があると $\frac12(u_1+u_2)$ で値が真に小さくなり（$\nabla u_1\ne\nabla u_2$ のとき）、最小点は一意です。
4. 極小曲面の汎関数 $F=\sqrt{1+|p|^2}$ は凸ですが $|p|$ の 1 次でしか増えず、強圧性の仮定を満たしません。この場合 $H^1$ では最小化列が有界にならず、有界変動関数の空間に舞台を移す必要があります。

6. 閉形式としての見方

$L$ が対称、すなわち $a^{ij}=a^{ji}$、$b=0$ の場合を考えます。$c\ge-M$（a.e.）とします。

命題 6.1（弱解と形式の表す作用素）✓

$a^{ij}=a^{ji}$、$b=0$ とする。$q(u,v)=B[u,v]$（$Q(q)=H^1_0(\Omega)$）は $L^2(\Omega)$ 上の下に有界な対称閉形式である。定理 4.2［自己共役性の判定］ で $q$ に対応する自己共役作用素を $L_D$ とすると、$u\in D(L_D)$ かつ $L_Du=f$ であることと、$u$ が $Lu=f$ の弱解であることは同値である。特に $a^{ij}=\delta_{ij}$、$c=0$ のとき、$L_D$ は $C_c^\infty(\Omega)$ 上の $-\Delta$ の Friedrichs 拡大に一致する。これを Dirichlet ラプラシアン $-\Delta_D$ という。

証明（命題 6.1）

$C_c^\infty(\Omega)$ は $L^2(\Omega)$ で稠密（補題 2.2［Schwartz 空間と緩増加超関数］）なので、$Q(q)$ も稠密です。$q(u,u)\ge-M\|u\|^2$ は楕円性から出ます。定理 4.1 から、$q(u,u)+(M+1)\|u\|^2$ から来るノルムは $H^1$ ノルムと同値で、$H^1_0$ は完備なので $q$ は閉です（定義 4.1［自己共役性の判定］）。

$u\in D(L_D)$、$L_Du=f$ なら、表現定理の 1 から全ての $v\in H^1_0$ で $B[v,u]=\langle v,f\rangle$、対称性から $u$ は弱解です。逆に弱解なら、表現定理の 3 から $u\in D(L_D)$、$L_Du=f$ です。

最後の主張: $\varphi,\psi\in C_c^\infty(\Omega)$ について $q(\varphi,\psi)=\langle\nabla\varphi,\nabla\psi\rangle=\langle\varphi,-\Delta\psi\rangle$（部分積分）です。$C_c^\infty$ 上の形式の閉包は、ノルムの同値性から $H^1_0$ 上の $q$ に等しいので、Friedrichs 拡大（定理 6.1［自己共役性の判定］）の定義の作用素と $L_D$ は一致します。

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「境界条件 $u=0$」は、作用素の定義域にではなく形式の定義域 $H^1_0$ に組み込まれています。$H^1(\Omega)$ を形式定義域にとると、自然境界条件（形式の定義域に課さなかった条件が、最小化の結果として自然に出てくるもの）として Neumann 条件 $\partial_\nu u=0$ が現れます。第 6 章では、この 2 つの形式を比べて固有値を数えます。また、ポテンシャル $V$ が $-\Delta_D$ に関して形式の意味で相対限界 $1$ 未満なら、KLMN の定理（定理 5.2［自己共役性の判定］）で $-\Delta_D+V$ が自己共役作用素として定まり、$V$ が $L^\infty$ に入らない場合（Coulomb ポテンシャルなど）も同じ枠組みで扱えます。

7. 演習

演習 7.1易

$\mu\ge0$、$f\in L^2(\Omega)$ とし、$u\in H^1_0(\Omega)$ を $-\Delta u+\mu u=f$ の弱解とする。$\Omega$ の直径を $d$ として $\|\nabla u\|\le d\,\|f\|$ を示せ。

解答

$v=u$ を代入すると $\|\nabla u\|^2+\mu\|u\|^2=\langle f,u\rangle\le\|f\|\|u\|\le d\|f\|\|\nabla u\|$（補題 2.1）です。$\mu\|u\|^2\ge0$ を捨てて $\|\nabla u\|$ で割ります（$\nabla u=0$ なら自明）。

演習 7.2標準

$H=\ell^2$（実数列）、$S$ を右シフト $S(u_1,u_2,\ldots)=(0,u_1,u_2,\ldots)$ とし、$B[u,v]=\langle Su,v\rangle$ とおく。$B$ は有界だが、$F(v)=v_1$ に対して $B[u,v]=F(v)$（全ての $v$）を満たす $u$ は存在しないことを示せ。定理 3.2 のどの仮定が破れているか答えよ。

解答

$|B[u,v]|\le\|Su\|\|v\|=\|u\|\|v\|$ なので有界です。$B[u,v]=v_1=\langle e_1,v\rangle$ が全ての $v$ で成り立てば $Su=e_1$ ですが、$Su$ の第 1 成分は常に $0$ なので不可能です。$B[e_1,e_1]=\langle e_2,e_1\rangle=0$ なので強圧性 $B[u,u]\ge\beta\|u\|^2$ が破れています。証明の中では、$A=S$ の値域が閉だが稠密でない（$e_1$ が直交補空間に入る）ところで議論が止まります。

演習 7.3標準

$\Omega$ を滑らかな境界をもつ有界領域、$f\in L^2(\Omega)$ とし、$u\in H^1(\Omega)$ が $J[w]=\int_\Omega\bigl(\frac12|\nabla w|^2+\frac12w^2-fw\bigr)dx$ の $H^1(\Omega)$（$H^1_0$ ではない）での最小点であるとする。さらに $u\in C^2(\bar\Omega)$、$f$ が連続ならば、$\Omega$ で $-\Delta u+u=f$、$\partial\Omega$ で $\partial_\nu u=0$ が成り立つことを示せ。

解答

定理 5.1 の証明と同じ展開で、全ての $v\in H^1(\Omega)$ について $\langle\nabla u,\nabla v\rangle+\langle u,v\rangle=\langle f,v\rangle$ です。$v\in C_c^\infty(\Omega)$ として部分積分すると $\int(-\Delta u+u-f)v=0$ で、補題 2.2［Schwartz 空間と緩増加超関数］ の 3 と連続性から $\Omega$ で $-\Delta u+u=f$ です。次に $v$ を多項式（の $\bar\Omega$ への制限、$H^1(\Omega)$ に入る）とし、Green の公式（系 2.2［ラプラス方程式と調和関数］）を使うと、方程式から体積項が消えて $\int_{\partial\Omega}v\,\partial_\nu u\,dS=0$ です。多項式はコンパクト集合 $\partial\Omega$ 上の連続関数を一様近似できる（定理 4.3［Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass］）ので、$v\to\partial_\nu u$ と近似して $\int_{\partial\Omega}(\partial_\nu u)^2dS=0$、よって $\partial_\nu u=0$ です。境界条件を課さずに最小化すると、境界条件が「自然に」現れます。

参考文献

• L. C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., American Mathematical Society, 2010 — Chapter 6.1–6.2（弱解・Lax–Milgram・エネルギー評価・Fredholm の択一）、Chapter 8.1–8.2（直接法・Euler–Lagrange 方程式）。
• D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, 2001（Classics in Mathematics 版）— Chapter 8。
• H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011 — Chapters 5 and 9。
• B. Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations, 3rd ed., Imperial College Press, 2015 — 直接法の章。
• M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics II: Fourier Analysis, Self-Adjointness, Academic Press, 1975 — Section X.3（形式の方法と Friedrichs 拡大）。