Sturm–Liouville 問題と Green 関数：振動定理・固有関数展開の完備性と、変数分離法（弦の振動・熱伝導）

0. この記事の要点

ギターの弦を両端で止めて弾くと、決まった高さの音（基音とその倍音）だけが出ます。この記事は、なぜ「特別な値だけ」が現れるのかを、弦のように単純でない一般の場合にも通用する形で調べます。読み終えると、そうした特別な値とそのときの振動の形が無数に並ぶこと、任意の振動がそれらの重ね合わせで書けることが分かります。

• Sturm–Liouville 問題 $-(py')'+qy=\lambda wy$、$y(a)=y(b)=0$ は、「方程式が解を持つような $\lambda$（固有値）と、そのときの解（固有関数）を求める」問題です。弦の振動、量子力学の井戸型ポテンシャル、熱伝導の変数分離に現れます。
• Sturm の比較定理：係数が大きい方程式の解は、より速く振動します。これは Wronskian に似た量（2 つの解 $y,z$ を組み合わせた $p(y'z-yz')$）の微分を調べるだけで証明できます。
• 振動定理：固有値は単純で $\lambda_1<\lambda_2<\cdots\to\infty$ と並び、$n$ 番目の固有関数は開区間にちょうど $n-1$ 個の零点を持ちます。Prüfer 変換（解を極座標で見る）で、固有値が「角度が $n\pi$ に達する $\lambda$」として特徴づけられます。
• Green 関数：$Ly=f$ の境界値問題の解が、積分核 $G(x,t)$ で $y=\int G(x,t)f(t)\,dt$ と書けます。核は連続で対称です。
• 完備性：この積分作用素は Hilbert–Schmidt 作用素（とくにコンパクト作用素で自己共役）で、核が $0$ なので、Hilbert–Schmidt の定理から固有関数が $L^2$ の正規直交基底をなします。三角関数系の完全性（Fourier 級数）もここから出ます。1 次元 Schrödinger 作用素のスペクトル論への入口です。

この記事で使う事前知識

• 固有空間: 行列 $A$ に対し $Ax=\lambda x$ を満たす $x\ne0$ を固有ベクトルといい、同じ $\lambda$ の固有ベクトル全体（と $0$）が作る空間のこと。→ 固有空間
• 正規直交基底: 長さが 1 で互いに直交し、全体を張るベクトル（関数）の列。→ 正規直交基底
• コンパクト作用素: 有界な列を送った先が、必ず収束する部分列をもつ作用素。→ コンパクト作用素
• 自己共役: 内積について $\langle Tf,g\rangle=\langle f,Tg\rangle$ が成り立つ作用素。行列なら実対称（エルミート）行列にあたる。→ 自己共役
• 一様収束: 関数列が、区間全体で同時に極限へ近づく収束（点ごとの収束より強い）。→ 一様収束
• ほとんど至るところ: 測度 $0$ の集合を除いて成り立つこと。→ ほとんど至るところ

• 変数分離法（§7）：区間上の弦の振動 $u_{tt}=u_{xx}$ と熱伝導 $u_t=u_{xx}$ の解は、固有関数 $\sin(n\pi x/\ell)$ の級数で与えられます。係数の減衰を部分積分で評価して項別微分を正当化し、一意性はエネルギー保存と最大値原理（熱方程式の解の最大値は、初めの時刻か両端でしか取られない、という性質）から出ます。弦ではモードの振幅が保たれ、熱では高い振動数ほど速く減衰します。

1. 動機

弦の振動を考えます。長さ $\ell$ の弦が両端で固定されているとき、変位 $u(x,t)$ は波動方程式 $u_{tt}=c^2u_{xx}$ を満たします。変数分離 $u=y(x)T(t)$ をすると、$y''=-\lambda y$（$\lambda$ は分離定数）、$y(0)=y(\ell)=0$ が出てきます。$\lambda$ が特別な値 $\lambda_n=(n\pi/\ell)^2$ のときだけ、境界条件を満たす $y\ne0$ が存在し、それが弦の基準振動 $\sin(n\pi x/\ell)$ です。一般の振動はこれらの重ね合わせ（Fourier 正弦級数）で書けます。

ここには数学的な問いが 3 つあります。

1. 固有値の構造：固有値はどんな集合か（離散的か、単純か、上に有界でないか）。
2. 固有関数の形：$n$ 番目の固有関数は、$\sin(n\pi x/\ell)$ のように $n-1$ 個の零点を持つのか。
3. 完全性：固有関数の重ね合わせで、任意の関数が（$L^2$ の意味で）展開できるのか。

係数が一定の場合は三角関数で直接分かります。しかし $p,q,w$ が変数関数だと、解は一般に公式で書けません。そこで必要になるのが、方程式の構造だけを使った議論です。前半（比較定理、Prüfer 変換）は常微分方程式の道具だけで、後半（Green 関数、完備性）は関数解析の道具が主役になります。常微分方程式と作用素論の橋渡しがこの記事の主題です。

2. 設定と基本性質

以下、$[a,b]$ を有界閉区間、$p\in C^1[a,b]$、$q,w\in C[a,b]$ を実数値とし、$p>0$、$w>0$ とします。作用素 $Ly=-(py')'+qy$ を考え、Sturm–Liouville 問題（Dirichlet 境界条件）

$$Ly=\lambda\,w\,y\quad\text{on }[a,b],\qquad y(a)=y(b)=0\tag{SL}$$

を扱います。ここで $y(a)=y(b)=0$ は、区間の両端で解が $0$ になる条件（Dirichlet 境界条件）です。$y\not\equiv0$ が (SL) を満たすとき $\lambda$ を固有値、$y$ を固有関数といいます。

補題 2.1（Lagrange の恒等式）✓

$u,v\in C^2[a,b]$ に対し $\displaystyle\int_a^b(Lu\cdot v-u\cdot Lv)\,dx=\Bigl[p\,(uv'-u'v)\Bigr]_a^b$ である。とくに $u(a)=u(b)=v(a)=v(b)=0$ なら $0$ である。

証明（補題 2.1）

$Lu\cdot v-u\cdot Lv=-(pu')'v+u(pv')'=\bigl[p(uv'-u'v)\bigr]'$ です（$(p(uv'-u'v))'=u(pv')'-(pu')'v$ を確かめる：$(puv')'=u'pv'+u(pv')'$、$(pu'v)'=(pu')'v+pu'v'$ なので差は $u(pv')'-(pu')'v$）。積分します。

∎

命題 2.2（固有値の基本性質）✓

1. 固有値は実数で、実数値の固有関数が取れる。
2. 異なる固有値の固有関数は重み $w$ に関して直交する：$\int_a^bw\,\varphi\psi\,dx=0$。
3. 各固有値の固有空間は 1 次元である（単純）。

証明（命題 2.2）

(1)(2) 複素数値関数を許すと、$\lambda$ が固有値で $y$ が固有関数のとき、$L$ の係数が実数なので $\bar y$ は固有値 $\bar\lambda$ の固有関数です。補題 2.1 を $u=y$、$v=\bar y$ に使うと $0=\int(Ly\,\bar y-y\,L\bar y)=(\lambda-\bar\lambda)\int w|y|^2$ で、$w>0$、$y\not\equiv0$ から $\lambda=\bar\lambda$ です。実固有値に対して $y$ の実部・虚部も同じ方程式を満たすので実数値の固有関数が取れます。異なる固有値 $\lambda\ne\mu$ の固有関数 $\varphi,\psi$ に対し $0=\int(L\varphi\,\psi-\varphi\,L\psi)=(\lambda-\mu)\int w\varphi\psi$ です。

(3) 2 つの固有関数 $y_1,y_2$ はともに $y(a)=0$ を満たし、線形方程式の初期値問題は $(y(a),y'(a))$ で一意に定まる（定理 2.1［線形微分方程式系］）ので、$y_2'(a)/y_1'(a)$ を比（$y_1'(a)\ne0$、さもなくば $y_1\equiv0$）とする定数倍の関係にあります。

∎

3. Sturm の比較定理

定理 3.1（Sturm の比較定理）✓

$p>0$ を $C^1$ 級、$g_1,g_2$ を連続で $g_1\le g_2$ とし、$y,z$ をそれぞれ $(py')'+g_1y=0$、$(pz')'+g_2z=0$ の実数値の自明でない解とする。$\alpha<\beta$ が $y$ の隣り合う零点なら、$z$ は $(\alpha,\beta)$ に零点を持つか、あるいは $g_1=g_2$（$[\alpha,\beta]$ 上）かつ $z$ は $y$ の定数倍である。

証明（定理 3.1）

零点では $y'\ne0$ です（$y(\alpha)=y'(\alpha)=0$ なら一意性より $y\equiv0$）。$y$ を $-1$ 倍して $(\alpha,\beta)$ で $y>0$ としてよく、このとき $y'(\alpha)>0$、$y'(\beta)<0$ です。$z$ が $(\alpha,\beta)$ に零点をもたないと仮定して、符号を取り替えて $z>0$ とします。

$$\bigl(p(y'z-yz')\bigr)'=(py')'z-y(pz')'=-g_1yz+g_2yz=(g_2-g_1)yz\ge0$$

を $[\alpha,\beta]$ で積分すると、左辺は

$$p(\beta)y'(\beta)z(\beta)-p(\alpha)y'(\alpha)z(\alpha)\le0$$

です（$z(\alpha),z(\beta)\ge0$、$y'(\beta)<0<y'(\alpha)$）。一方、右辺 $\int(g_2-g_1)yz\ge0$ なので、両方が $0$ です。したがって $(g_2-g_1)yz\equiv0$ で、$yz>0$ より $g_1=g_2$。また $y'(\beta)z(\beta)=0$ から $z(\beta)=0$、同様に $z(\alpha)=0$ となり、$z$ と $y$ は同じ方程式で $\alpha$ で零なので定数倍です（一意性）。

∎

系 3.2（零点の分離）✓

$g_1=g_2$ とし、$y_1,y_2$ を一次独立な 2 つの実解とする。$y_1$ の隣り合う零点の間には $y_2$ の零点がちょうど 1 つある。

証明（系 3.2）

定理 3.1 で $g_1=g_2$、$y=y_1$、$z=y_2$ とすると、$y_2$ は $y_1$ の定数倍でない（一次独立）ので、$y_2$ は $(\alpha,\beta)$ に零点を持ちます。もし $(\alpha,\beta)$ に $y_2$ の零点が 2 つあれば、役割を入れ替えて、その間に $y_1$ の零点があることになり、$\alpha,\beta$ が隣り合う零点であることに反します。ゆえにちょうど 1 つです。

∎

例 3.3（振動の速さの比較）

$y''+q(x)y=0$（$p=1$）で $q(x)\ge m^2>0$ なら、任意の自明でない解は長さ $\pi/m$ の任意の区間に零点を持ちます。$z=\sin(m(x-c))$ は $z''+m^2z=0$ の解で、その隣り合う零点の間隔は $\pi/m$ です。定理 3.1 の $y=z$（$g_1=m^2$）、比較対象の $g_2=q\ge m^2$ を使います。$q$ が大きいほど速く振動する、という直観のとおりです。

4. 振動定理

比較定理は解が「どれだけ振動するか」を比べますが、固有値問題では、固有値 $\lambda$ を動かしたとき零点の数がどう変わるかを知りたいのです。そのために、解の位相を追跡するPrüfer 変換を使います。

$\lambda\in\mathbb{R}$ を固定し、$u$ を $Lu=\lambda wu$、$u(a)=0$、$p(a)u'(a)=1$ の解、$v=pu'$ とします。すると

$$u'=\frac vp,\qquad v'=(q-\lambda w)u\tag{4.1}$$

です。$(u,v)\ne(0,0)$（さもなくば $u\equiv0$）なので、$(u,v)$ を極座標 $(u,v)=r(\sin\theta,\cos\theta)$ で表したときの角度 $\theta$ を追跡できます。

次の補題は、この角度 $\theta$ がそれだけで閉じた 1 本の微分方程式を満たすことを述べます。ねらいは、$u$ の零点（$\sin\theta=0$）を、$\theta$ が $\pi$ の整数倍になる瞬間として数えられるようにすることです。

補題 4.1（Prüfer 変換）✓

$F(x,\theta,\lambda)=\dfrac{\cos^2\theta}{p(x)}+\bigl(\lambda w(x)-q(x)\bigr)\sin^2\theta$ とし、$\theta$ を $\theta'=F(x,\theta,\lambda)$、$\theta(a)=0$ の解とする。このとき $\theta$ は $[a,b]$ 全体で存在し、$r(x)=\exp\int_a^x\sin\theta\cos\theta\,(1/p+q-\lambda w)\,ds$ に対して $(u,v)=r(\sin\theta,\cos\theta)$ が成り立つ。

証明（補題 4.1）

$F$ は $\theta$ について $C^\infty$ で $|F|\le\sup(1/p)+\sup|\lambda w-q|$ と有界なので、系 6.2［解の存在と一意性］ により $\theta$ は $[a,b]$ 全体で存在します。$(\tilde u,\tilde v)=r(\sin\theta,\cos\theta)$ とおくと、$r'/r=\sin\theta\cos\theta(1/p+q-\lambda w)$ と $\theta'=F$ を用いて

$$\tilde u'=r\cos\theta\Bigl[\sin^2\theta\Bigl(\tfrac1p+q-\lambda w\Bigr)+\tfrac{\cos^2\theta}{p}+(\lambda w-q)\sin^2\theta\Bigr]=\frac{\tilde v}{p},$$$$\tilde v'=r\sin\theta\Bigl[\cos^2\theta\Bigl(\tfrac1p+q-\lambda w\Bigr)-\tfrac{\cos^2\theta}{p}-(\lambda w-q)\sin^2\theta\Bigr]=(q-\lambda w)\tilde u$$

と計算できます。初期値 $(\tilde u,\tilde v)(a)=(0,1)=(u,v)(a)$ なので、(4.1) の解の一意性から $(\tilde u,\tilde v)=(u,v)$ です。

∎

したがって $u(x)=0$ であることと $\sin\theta(x)=0$（$\theta(x)\in\pi\mathbb{Z}$）であることは同値です。$\theta(x)=k\pi$ となる点では $\theta'=1/p>0$ なので、$\theta$ は各 $k\pi$ を上向きにだけ横切ります。$\theta(a)=0$ で $\theta'(a)>0$ なので、$x>a$ で $\theta(x)>0$ であり、$\theta$ が $k\pi$ を越えたあと、それ以下に戻ることもありません。ゆえに

$u$ の $(a,b)$ における零点の数は $\#\{k\ge1:k\pi<\theta(b;\lambda)\}$ に等しい。$u(b)=0$ となる（$\lambda$ が固有値である）ことは $\theta(b;\lambda)\in\{\pi,2\pi,\dots\}$ と同値で、$\theta(b;\lambda)=n\pi$ のとき零点はちょうど $n-1$ 個。

次の定理の証明の方針です。$\lambda$ を動かすと、右端 $b$ での角度 $\Theta(\lambda)$ が動きます。(i) $\Theta$ が $\lambda$ とともに増えること、(ii) $\lambda$ が十分負なら $\pi$ 未満であること、(iii) $\lambda$ が十分大きければいくらでも大きくなること、を示し、$\Theta=n\pi$ となる $\lambda$ を中間値の定理で拾います。(ii)(iii) で記号が多いのは、$\theta$ の進む速さ $\theta'=F$ を、$\lambda$ の符号に応じて上から、または下から押さえるためです。

定理 4.2（振動定理）✓

(SL) の固有値は、単純で実数の列 $\lambda_1<\lambda_2<\lambda_3<\cdots$、$\lambda_n\to\infty$ をなし、これ以外に固有値はない。$\lambda_n$ の固有関数は $(a,b)$ にちょうど $n-1$ 個の零点を持つ。

証明（定理 4.2）

関数 $\Theta(\lambda)=\theta(b;\lambda)$ を調べます。

(i) $\Theta$ は連続かつ狭義単調増加。 $F$ は $(\theta,\lambda)$ について $C^1$ 級なので、パラメータに関する微分可能依存性（定理 8.1［解の存在と一意性］ に $\lambda'=0$ を連立する）により、$\vartheta=\partial\theta/\partial\lambda$ は存在して $\vartheta'=F_\theta\vartheta+w\sin^2\theta$、$\vartheta(a)=0$ を満たします。これは 1 階線形方程式なので（定理 4.2［常微分方程式の初等解法］）

$$\vartheta(x)=\int_a^x\exp\Bigl(\int_s^xF_\theta\Bigr)\,w(s)\sin^2\theta(s)\,ds>0\qquad(x>a)$$

です（$\theta(a)=0$、$\theta'(a)>0$ より $\sin^2\theta>0$ が $a$ の右近傍にある）。よって $\Theta'(\lambda)=\vartheta(b)>0$ です。

(ii) $\lambda\to-\infty$ で $\Theta<\pi$。 $\delta\in(0,\pi/2)$ をとり、$m=\min w$、$P=\min p$、$\mu=\max|q|$ とおきます。$m|\lambda|>\mu+1/(P\sin^2\delta)$ なる $\lambda<0$ では、$\theta$ が最初に $\delta$ に達する点 $x_1$ があれば $\theta'(x_1)=\cos^2\delta/p+(\lambda w-q)\sin^2\delta\le1/P-(m|\lambda|-\mu)\sin^2\delta<0$ ですが、$\theta$ が初めて $\delta$ に達するなら $\theta'(x_1)\ge0$ のはずで矛盾です。ゆえに $\theta<\delta<\pi$ で $\Theta(\lambda)<\pi$ です。

(iii) $\lambda\to+\infty$ で $\Theta\to\infty$。 自然数 $N$ をとり、$\lambda m\ge\mu$ とすれば $F\ge\cos^2\theta/p\ge0$ なので $\theta$ は単調非減少です。小さな $\varepsilon\in(0,\pi/4)$ をとります。$\theta$ が $k\pi$ の $\varepsilon$ 近傍にあるとき $\cos^2\theta\ge1/2$ なので $\theta'\ge1/(2\max p)$、その近傍を通り抜ける時間は $4\varepsilon\max p$ 以下です。近傍の外では $\sin^2\theta\ge(2\varepsilon/\pi)^2$ で $\theta'\ge(\lambda m-\mu)(2\varepsilon/\pi)^2$ なので、1 つの隙間 $\pi$ を通る時間は $\pi^3/(4\varepsilon^2(\lambda m-\mu))$ 以下です。$\theta$ が $0$ から $N\pi$ に達する全時間は、近傍で $(N+1)\cdot4\varepsilon\max p$、隙間で $N\pi^3/(4\varepsilon^2(\lambda m-\mu))$ 以下ですから、$\varepsilon$ を前者が $(b-a)/2$ 以下になるよう、次に $\lambda$ を後者が $(b-a)/2$ 未満になるよう選べば、$\theta$ は $b$ までに $N\pi$ に達します。$\Theta(\lambda)\ge N\pi$ です。

結論。 (i)–(iii) と中間値の定理により、各 $n\ge1$ に対し $\Theta(\lambda)=n\pi$ となる $\lambda=\lambda_n$ がただ 1 つあり、$\Theta$ の増加性から $\lambda_1<\lambda_2<\cdots$ です。固有値はこれらに限られます。$\lambda_n\le\Lambda$ が無限個あれば $n\pi=\Theta(\lambda_n)\le\Theta(\Lambda)<\infty$ に反するので $\lambda_n\to\infty$。単純性は 命題 2.2、零点の個数は上の枠内の記述です。

∎

図 1. p = w = 1、q = 0、[a, b] = [0, 1] の場合の Prüfer 角 θ(b; λ)。λ について単調増加で、水平線 nπ と交わる λ が固有値 λₙ = (nπ)²。

この場合 $(u,v)=(\sin(\sqrt\lambda\,x)/\sqrt\lambda,\ \cos(\sqrt\lambda\,x))$ で、$(u,v)=r(\sin\theta,\cos\theta)$ ですから、$\theta(x;\lambda)$ は複素数 $\cos(\sqrt\lambda\,x)+i\,\sin(\sqrt\lambda\,x)/\sqrt\lambda$ の偏角を、$x=0$ で $0$ になるように $x$ に沿って連続につないだものです。$\Theta(\lambda)$ はその $x=1$ での値で、固有値は $\lambda_n=(n\pi)^2$ です。

5. Green 関数

以下、$0$ は (SL) の固有値でないと仮定します（一般の場合は §6 の最後で $q$ を $q-cw$ に取り替えて帰着させます）。

$u_1,u_2$ を $Lu_i=0$ の解で、$u_1(a)=0$、$u_1'(a)=1/p(a)$ および $u_2(b)=0$、$u_2'(b)=1/p(b)$ を満たすものとします。$u_1,u_2$ は一次独立です（$u_1(b)=0$ だと $u_1$ が $\lambda=0$ の固有関数になる）。

$W=p\,(u_1u_2'-u_1'u_2)$ は定数で、$0$ ではありません。実際 $W'=u_1(pu_2')'-(pu_1')'u_2=u_1qu_2-qu_1u_2=0$ で、$W=W(a)=-p(a)u_1'(a)u_2(a)=-u_2(a)$、$u_2(a)=0$ だと $u_2$ が固有関数になってしまうので $W\ne0$ です。

次の $G$ は、$Ly=f$ を解く公式を作るために置きます。$x\le t$ の側では左端の条件を満たす $u_1$、$x\ge t$ の側では右端の条件を満たす $u_2$ を使い、$x=t$ で貼り合わせた形です。この形で本当に解が得られることは、すぐ後の定理で確かめます。

定義 5.1（Green 関数）↗

$$G(x,t)=-\frac{1}{W}\,u_1(\min\{x,t\})\,u_2(\max\{x,t\})\qquad(x,t\in[a,b])$$

を (SL) の（$\lambda=0$ での）Green 関数という。$G$ は $[a,b]^2$ 上で連続かつ実数値で対称：$G(x,t)=G(t,x)$。

定理 5.2（Green 関数による境界値問題の解）✓

$f\in C[a,b]$ とする。$y(x)=\displaystyle\int_a^bG(x,t)f(t)\,dt$ は $Ly=f$、$y(a)=y(b)=0$ を満たす $C^2$ 級の唯一の解である。

証明（定理 5.2）

定義により

$$y(x)=-\frac1W\Bigl[u_2(x)\int_a^xu_1f\,dt+u_1(x)\int_x^bu_2f\,dt\Bigr]$$

です。微分すると、積分の上端・下端から出る項 $u_2u_1f-u_1u_2f$ が打ち消し合うので

$$y'(x)=-\frac1W\Bigl[u_2'(x)\int_a^xu_1f+u_1'(x)\int_x^bu_2f\Bigr]$$

です。もう一度 $p$ を掛けて微分すると（$(pu_i')'=qu_i$）

$$(py')'=-\frac1W\Bigl[qu_2\int_a^xu_1f+qu_1\int_x^bu_2f+p(u_2'u_1-u_1'u_2)f\Bigr]=qy-f$$

です。ゆえに $Ly=-(py')'+qy=f$ です。$y(a)=-\frac1Wu_1(a)\int_a^bu_2f=0$、$y(b)=0$ も同様です。一意性：2 つの解の差は $Ly=0$、$y(a)=y(b)=0$ を満たし、$0$ は固有値でないので $0$ です。

∎

例 5.3（−y″ = f の Green 関数）

$p=w=1$、$q=0$、$[a,b]=[0,\ell]$ では $u_1=x$、$u_2=x-\ell$、$W=x\cdot1-1\cdot(x-\ell)=\ell$ で

$$G(x,t)=\frac{\min\{x,t\}\bigl(\ell-\max\{x,t\}\bigr)}{\ell}$$

です。たとえば $f\equiv1$ なら $y=\int_0^\ell G\,dt=x(\ell-x)/2$ で、確かに $-y''=1$、$y(0)=y(\ell)=0$ です。$G(x,\cdot)$ は、$x$ に置いた単位の力に対する弦（張力 1）の静的な変位を表します。

6. 固有関数展開の完備性

重み $w$ つきの $L^2$ 空間 $H=L^2((a,b);w\,dx)$（内積 $\langle f,g\rangle_w=\int wf\bar g\,dx$）を考えます。

定理 6.1（固有関数展開の完備性）✓

(SL) の固有関数を $\varphi_1,\varphi_2,\dots$（$\varphi_n$ は $\lambda_n$ の実数値固有関数で $\|\varphi_n\|_w=1$）とすると、$\{\varphi_n\}_{n\ge1}$ は $H$ の正規直交基底である。すなわち任意の $f\in H$ について

$$f=\sum_{n=1}^{\infty}\langle f,\varphi_n\rangle_w\,\varphi_n\quad(H\text{ の意味で}),\qquad\|f\|_w^2=\sum_n|\langle f,\varphi_n\rangle_w|^2$$

が成り立つ。

証明の方針です。Green 関数を核とする積分作用素 $K$ を作ると、$K$ は $L$ の逆にあたります。$K$ はコンパクトな自己共役作用素なので、Hilbert–Schmidt の定理から固有ベクトルの正規直交系が得られ、$K$ の核（$Kf=0$ となる $f$ の全体）が $\{0\}$ ならそれが $H$ 全体の基底になります。最後に、$K$ の固有ベクトルが (SL) の固有関数と同じものだと確かめます。途中の $\operatorname{Ker}K=\{0\}$ の部分は、$Kf=0$ の式を微分して連立方程式に直し、$h=wf$ がほとんど至るところ $0$ であることを導いています。

証明（定理 6.1）

帰着。 $c\in\mathbb{R}$ に対し $q$ を $q-cw$ に取り替えると、$Ly=\lambda wy$ は $(L-cw)y=(\lambda-c)wy$ となるだけで、固有関数は変わらず固有値が $c$ ずれます。定理 4.2 により固有値は下に有界なので、$c<\lambda_1$ ととれば新しい問題の固有値はすべて正で、$0$ は固有値ではありません。よって §5 の仮定を満たすとしてよいです。

積分作用素。 $(Kf)(x)=\int_a^bG(x,t)f(t)w(t)\,dt$ とします。$U:H\to L^2(a,b)$、$Uf=\sqrt wf$ はユニタリで、$UKU^{-1}$ は積分核 $k(x,t)=\sqrt{w(x)}\,G(x,t)\sqrt{w(t)}$ をもつ積分作用素です。$k$ は $[a,b]^2$ 上で連続・実数値・対称なので $L^2([a,b]^2)$ に属し、定理 6.4［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ により Hilbert–Schmidt 作用素、命題 6.3［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ の 3 によりコンパクトで、核の対称性から自己共役です。したがって $K$ は $H$ 上のコンパクト自己共役作用素です。

$\operatorname{Ker}K=\{0\}$。 $Kf=0$ とし、$h=wf\in L^1$ とおきます。$A(x)=\int_a^xu_1h$、$B(x)=\int_x^bu_2h$（絶対連続）に対し、$Kf(x)=-\frac1W[u_2A+u_1B]=0$ がすべての $x$ で成り立ちます。微分（a.e.）すると $u_2'A+u_1'B+(u_2u_1-u_1u_2)h=u_2'A+u_1'B=0$ で、これは連続関数なので全 $x$ で成り立ちます。連立方程式

$$u_2A+u_1B=0,\qquad u_2'A+u_1'B=0$$

の係数行列式は $u_2u_1'-u_1u_2'=-W/p\ne0$ なので $A=B=0$ です。$A'=u_1h=0$、$B'=-u_2h=0$（a.e.）で、$u_1,u_2$ に共通の零点はない（一次独立な解は共通の零点を持たない）ので $h=0$ a.e.、$w>0$ から $f=0$ です。

固有関数と K の固有ベクトル。 定理 4.2［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ の 3 により、$H=\operatorname{Ker}K\oplus\overline{\operatorname{span}}\{e_n\}$（$e_n$ は $K$ の $0$ でない固有値の固有ベクトル）で、$\operatorname{Ker}K=0$ から $\{e_n\}$ は完全です。$Ke=\mu e$（$\mu\ne0$）なら、$K$ の像は連続関数なので $e=\mu^{-1}Ke$ は連続で、したがって 定理 5.2 を $f=\mu^{-1}we$ に使えて $e\in C^2$、$Le=\mu^{-1}we$、$e(a)=e(b)=0$、すなわち $e$ は固有値 $\lambda=1/\mu$ の (SL) の固有関数です。逆に (SL) の固有関数 $\varphi$（固有値 $\lambda\ne0$）に対し $L\varphi=\lambda w\varphi$ なので 定理 5.2 の一意性から $\varphi=\lambda K\varphi$ です。こうして (SL) の固有関数と $K$ の固有ベクトルは対応します。固有値は単純（命題 2.2）で、$\lambda_n$ の固有関数は規格化した $\varphi_n$ だけなので、$\{\varphi_n\}$ が $H$ の正規直交基底です。

∎

命題 6.2（正弦関数系の完全性）✓

$\ell>0$ とする。$-y''=\lambda y$、$y(0)=y(\ell)=0$ の固有値は $\lambda_n=(n\pi/\ell)^2$（$n=1,2,\dots$）で、$\varphi_n(x)=\sqrt{2/\ell}\,\sin(n\pi x/\ell)$ は $\lambda_n$ の規格化された固有関数である。$\{\varphi_n\}_{n\ge1}$ は $L^2(0,\ell)$ の正規直交基底である。

証明（命題 6.2）

これは (SL) で $p=w=1$、$q=0$、$[a,b]=[0,\ell]$ とした場合です。(SL) の固有値は実数なので（命題 2.2）、$\lambda\in\mathbb{R}$ を考えれば十分です。$\lambda$ を固定し、$s_\lambda$ を $\lambda>0$ なら $\sin(\sqrt\lambda\,x)/\sqrt\lambda$、$\lambda=0$ なら $x$、$\lambda<0$ なら $\sinh(\sqrt{-\lambda}\,x)/\sqrt{-\lambda}$ と置くと、$s_\lambda$ は $-y''=\lambda y$、$y(0)=0$、$y'(0)=1$ を満たします。$y$ が $-y''=\lambda y$、$y(0)=0$ を満たせば、$y-y'(0)s_\lambda$ は同じ方程式の解で初期値 $(0,0)$ をもつので、1 階系 $(y,y')'=(y',-\lambda y)$ の解の一意性（定理 2.1［線形微分方程式系］）から恒等的に $0$、すなわち $y=y'(0)s_\lambda$ です。したがって $\lambda$ が固有値であることは $s_\lambda(\ell)=0$ と同値です。$\lambda\le0$ では $s_\lambda(\ell)=\ell$ または $\sinh(\sqrt{-\lambda}\,\ell)/\sqrt{-\lambda}$ で正なので固有値ではありません。$\lambda>0$ では $\sin(\sqrt\lambda\,\ell)=0$、すなわち $\sqrt\lambda\,\ell=n\pi$（$n\ge1$）のときに限り固有値です。固有関数は $\sin(n\pi x/\ell)$ の定数倍で、$\int_0^\ell\sin^2(n\pi x/\ell)\,dx=\int_0^\ell\frac{1-\cos(2n\pi x/\ell)}2\,dx=\frac\ell2$ なので $\varphi_n$ は規格化されています。固有値は小さい順に $\lambda_1<\lambda_2<\cdots$ と並ぶので、定理 6.1 により $\{\varphi_n\}$ は $L^2(0,\ell)$ の正規直交基底です。

∎

例 6.3（Fourier 正弦級数の完全性）

$p=w=1$、$q=0$、$[a,b]=[0,\ell]$ では、命題 6.2 のとおり $-y''=\lambda y$、$y(0)=y(\ell)=0$ の固有値は $\lambda_n=(n\pi/\ell)^2$、規格化した固有関数は $\varphi_n=\sqrt{2/\ell}\,\sin(n\pi x/\ell)$ で、$\{\varphi_n\}$ は $L^2(0,\ell)$ の正規直交基底です。つまり任意の $f\in L^2(0,\ell)$ は Fourier 正弦級数で展開でき、Parseval の等式が成り立ちます。三角関数系の完全性は、微分方程式の構造から出てきました。

注意 6.4（作用素論との関係）

$p=w=1$ のとき (SL) は区間上の 1 次元 Schrödinger 作用素 $H=-d^2/dx^2+q$（Dirichlet 境界条件）の固有値問題です。証明の核心は、$H$ の逆 $K=H^{-1}$ がコンパクト自己共役作用素で、固有値がコンパクト作用素の固有値の逆数として離散的に並ぶ、という点でした。$H$ 自身は非有界な自己共役作用素ですが、レゾルベント $(H-z)^{-1}$ がコンパクトなので、そのスペクトルは固有値だけからなります（スペクトルの分類 の言葉では、本質スペクトルが空）。区間が無限に延びる場合は、この議論がそのままでは使えず、連続スペクトルが現れます。

7. 変数分離法：弦の振動と熱伝導

冒頭の動機に戻ります。区間 $(0,\ell)$ の両端で $0$ になる境界条件のもとで、偏微分方程式 $u_{tt}=u_{xx}$（弦の振動）と $u_t=u_{xx}$（熱伝導）を、変数分離法（$u=y(x)T(t)$ とおく）で解きます。$y''=-\lambda y$、$y(0)=y(\ell)=0$ の固有値・固有関数が、例 6.3 の $\lambda_n=k_n^2$、$k_n=\frac{n\pi}\ell$、$\varphi_n=\sqrt{2/\ell}\,\sin k_nx$ です。以下、$k=k_n$ と略記し、$\psi_n=\sqrt{2/\ell}\cos k_nx$ とします（$\{\psi_n\}_{n\ge1}$ は $L^2(0,\ell)$ の正規直交系です。$\int_0^\ell\cos k_nx\cos k_mx\,dx$ は $n\ne m$ で $0$、$n=m$ で $\frac\ell2$）。波の速さが $c$ の方程式 $u_{tt}=c^2u_{xx}$ は、時間を $ct$ に取り替えて同じ形になります。

まず、係数の減衰を評価する補題です。級数を項ごとに微分して $u_{tt}=u_{xx}$ を確かめるには、微分で出る $n^2$ 倍の因子に負けないほど、係数 $a_n$ が速く小さくなる必要があります。補題は、初期形 $u_0$ がなめらかなほど $a_n$ が速く減ることを、部分積分で示します。これにより級数が一様収束し、項別微分が許されます。

補題 7.1（正弦係数の減衰）✓

$u_0\in C^2[0,\ell]$ で $u_0(0)=u_0(\ell)=0$ なら、$a_n=\frac2\ell\int_0^\ell u_0\sin k_nx\,dx$ は $a_n=-\frac1{k_n^2}\sqrt{\frac2\ell}\,\delta_n$（$\delta_n=\langle u_0'',\varphi_n\rangle$、$\sum\delta_n^2\le\|u_0''\|_2^2$）を満たし、$\sum_n|a_n|<\infty$ である。さらに $u_0\in C^3[0,\ell]$ で $u_0''(0)=u_0''(\ell)=0$ なら、$a_n=-\frac1{k_n^3}\sqrt{\frac2\ell}\,\gamma_n$（$\gamma_n=\langle u_0''',\psi_n\rangle$、$\sum\gamma_n^2\le\|u_0'''\|_2^2$）で、$\sum_nn^2|a_n|<\infty$ である。

証明（補題 7.1）

部分積分を使います。$u_0(0)=u_0(\ell)=0$ なので $\int_0^\ell u_0\sin kx\,dx=\Bigl[-\frac{u_0\cos kx}k\Bigr]_0^\ell+\frac1k\int_0^\ell u_0'\cos kx\,dx=\frac1k\int_0^\ell u_0'\cos kx\,dx$ です。同様に $\sin k\ell=\sin n\pi=0$ から $\int_0^\ell u_0'\cos kx\,dx=-\frac1k\int_0^\ell u_0''\sin kx\,dx$ なので、$a_n=-\frac2{\ell k^2}\int u_0''\sin kx\,dx=-\frac1{k^2}\sqrt{\frac2\ell}\,\delta_n$ です。ベッセルの不等式（定理 6.2［Hilbert 空間の基礎］）から $\sum\delta_n^2\le\|u_0''\|_2^2$ で、Cauchy–Schwarz の不等式から $\sum|a_n|\le C\bigl(\sum\frac1{n^4}\bigr)^{1/2}\bigl(\sum\delta_n^2\bigr)^{1/2}<\infty$ です（$C$ は $\ell$ だけで決まる定数）。後半：$u_0''(0)=u_0''(\ell)=0$ なら $\int_0^\ell u_0''\sin kx\,dx=\Bigl[-\frac{u_0''\cos kx}k\Bigr]_0^\ell+\frac1k\int_0^\ell u_0'''\cos kx\,dx=\frac1k\int_0^\ell u_0'''\cos kx\,dx$ です。したがって $a_n=-\frac1{k^3}\sqrt{\frac2\ell}\,\gamma_n$ で、$\sum n^2|a_n|\le C'\sum\frac{|\gamma_n|}n\le C'\bigl(\sum\frac1{n^2}\bigr)^{1/2}\bigl(\sum\gamma_n^2\bigr)^{1/2}<\infty$ です。

∎

定理 7.2（弦の振動の変数分離解）✓

$u_0\in C^3[0,\ell]$ で $u_0(0)=u_0(\ell)=u_0''(0)=u_0''(\ell)=0$、$u_1\in C^2[0,\ell]$ で $u_1(0)=u_1(\ell)=0$ とする。係数を $a_n=\frac2\ell\int_0^\ell u_0\sin k_nx\,dx$、$b_n=\frac2\ell\int_0^\ell u_1\sin k_nx\,dx$ として

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\Bigl(a_n\cos k_nt+\frac{b_n}{k_n}\sin k_nt\Bigr)\sin k_nx$$

は $[0,\ell]\times\mathbb{R}$ 上で $C^2$ 級で、$u_{tt}=u_{xx}$、$u(0,t)=u(\ell,t)=0$、$u(x,0)=u_0(x)$、$u_t(x,0)=u_1(x)$ を満たす。さらに、$t\ge0$ でこれらを満たす $C^2$ 級の解は $u$ だけである。

証明（定理 7.2）

係数. 補題 7.1 から $\sum n^2|a_n|<\infty$、$\sum|a_n|<\infty$ です。$u_1$ には同じ補題の前半（$u_0\to u_1$）を適用して $b_n=-\frac1{k^2}\sqrt{\frac2\ell}\,\langle u_1'',\varphi_n\rangle$ で、$\sum n|b_n|\le C\sum\frac{|\langle u_1'',\varphi_n\rangle|}n<\infty$ です。

項別微分. 級数の各項の $x,t$ に関する 2 階までの偏導関数は、絶対値が $k^2|a_n|+k|b_n|$ 以下（たとえば $\partial_x^2$ の項は $k^2\bigl|a_n\cos kt+\frac{b_n}k\sin kt\bigr|\le k^2|a_n|+k|b_n|$、$\partial_t\partial_x$ の項も同様。0 階・1 階の項は $k\ge1$ のときこの量で抑えられ、$k<1$ となる有限個の $n$ は収束に影響しない）です。$\sum(k^2|a_n|+k|b_n|)<\infty$ なので、M 判定法（系 6.4［関数列と一様収束］）と項別微分（定理 7.3［関数列と一様収束］）により、$u$ は $C^2$ 級で偏導関数は項別に計算できます。$\partial_t^2$ の項と $\partial_x^2$ の項はどちらも $-k^2(\cdots)\sin kx$ で一致するので $u_{tt}=u_{xx}$ です。$\sin0=\sin k_n\ell=0$ から境界条件も成り立ちます。

初期条件. $u(x,0)=\sum a_n\sin k_nx$ は一様収束で連続関数 $v$ に収束し、その正弦係数は $a_n$ です（一様収束は項別積分できる）。$u_0$ も同じ正弦係数をもちます。$p=w=1$、$q=0$ の (SL) では、$\lambda\le0$ だと $y=\alpha x+\beta$ または $\alpha\sinh(\sqrt{-\lambda}\,x)+\beta\cosh(\sqrt{-\lambda}\,x)$ が両端で $0$ になるのは $y=0$ だけで、$\lambda>0$ だと $y(0)=0$ から $y=\alpha\sin(\sqrt\lambda\,x)$、$y(\ell)=0$ から $\sqrt\lambda\,\ell\in\pi\mathbb{N}$ なので、固有値は $k_n^2$、規格化した固有関数は $\varphi_n$ だけです。したがって $\{\varphi_n\}$ が完全（定理 6.1）であることから $u_0-v\in L^2$ はすべての $\varphi_n$ と直交し、$u_0=v$ ほとんど至るところ、連続関数なので至るところです。同様に $u_t(x,0)=\sum b_n\sin k_nx=u_1$ です。

一意性. 二つの解の差は、初期値・境界値が $0$ の波動方程式の解で、系 5.2［波動方程式］ を $U=(0,\ell)$（$n=1$）に適用すると $0$ です。

∎

例 7.3（基準振動の重ね合わせ）

$u_0(x)=\frac14\bigl(3\sin\frac{\pi x}\ell-\sin\frac{3\pi x}\ell\bigr)=\sin^3\frac{\pi x}\ell$、$u_1=0$ は仮定を満たします（$u_0''=\frac{\pi^2}{4\ell^2}\bigl(-3\sin\frac{\pi x}\ell+9\sin\frac{3\pi x}\ell\bigr)$ は端点で $0$）。$a_1=\frac34$、$a_3=-\frac14$、他は $0$ なので

$$u(x,t)=\frac34\cos\frac{\pi t}\ell\,\sin\frac{\pi x}\ell-\frac14\cos\frac{3\pi t}\ell\,\sin\frac{3\pi x}\ell$$

です。基本振動（振動数 $\frac\pi\ell$）と 3 倍の倍音が重なり、$t=0$ で $u=\sin^3\frac{\pi x}\ell$、周期 $2\ell$ で元に戻ります。端点で $u_0''\ne0$ となる初期形（たとえば $u_0=x(\ell-x)$）では、$a_n\sim n^{-3}$ で $\sum n^2|a_n|=\infty$ となり、この証明の項別微分が使えません。実際、$u_0=x(\ell-x)$ を奇関数で周期 $2\ell$ に拡張した関数 $G$ は端点で $2$ 階微分が跳び（$G''=-2$ と $+2$）、d’Alembert の公式（定理 2.1［波動方程式］）の解 $\frac12\bigl(G(x+t)+G(x-t)\bigr)$ は、跳びの点を特性線に沿って運ぶので $C^2$ 級になりません。

熱方程式は同じ固有関数を使い、時間部分が $\cos,\sin$ の代わりに指数関数になります。

定理 7.4（熱伝導の変数分離解）✓

$u_0\in C^2[0,\ell]$ で $u_0(0)=u_0(\ell)=0$ とし、$a_n=\frac2\ell\int_0^\ell u_0\sin k_nx\,dx$ とおく。

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty a_n\,e^{-k_n^2t}\sin k_nx$$

は $[0,\ell]\times[0,\infty)$ で連続、$[0,\ell]\times(0,\infty)$ で $C^\infty$ 級で、$u_t=u_{xx}$、$u(0,t)=u(\ell,t)=0$、$u(x,0)=u_0(x)$ を満たす。さらに、$u\in C^{2,1}((0,\ell)\times(0,T])\cap C([0,\ell]\times[0,T])$ でこれらを満たすものは、各 $T>0$ で $u$ だけである。

証明（定理 7.4）

補題 7.1 から $\sum|a_n|<\infty$ で、$|a_ne^{-k^2t}\sin kx|\le|a_n|$ から級数は $[0,\ell]\times[0,\infty)$ で一様収束し、$u$ は連続です。$u(x,0)=\sum a_n\sin k_nx=u_0$ は、定理 7.2 の証明の初期条件と同じ議論（完全性）です。$t\ge t_0>0$ では、$\partial_t^p\partial_x^q$ の項の絶対値は $k^{2p+q}|a_n|e^{-k^2t_0}\le Cn^{2p+q}e^{-\pi^2n^2t_0/\ell^2}|a_n|$ で、$n^re^{-cn^2}$ は $n$ について有界（$\sum_n|a_n|<\infty$ なので級数全体が収束）なので、任意階の偏導関数の項別級数が一様収束し、M 判定法（系 6.4［関数列と一様収束］）と項別微分（定理 7.3［関数列と一様収束］）を繰り返し使って $u\in C^\infty$ で、$u_t=\sum-k^2a_ne^{-k^2t}\sin kx=u_{xx}$ です。境界条件は $\sin0=\sin n\pi=0$ から従います。一意性は、二つの解の差 $w$ が熱方程式を満たし、放物境界 $\Gamma_T$ で $0$ なので、定理 3.1［熱方程式］ を $w$ と $-w$ に使って $w\equiv0$ です。

∎

例 7.5（高い振動数ほど速く消える）

$u_0(x)=\sin\frac{\pi x}\ell+\sin\frac{3\pi x}\ell$ では $u(x,t)=e^{-\pi^2t/\ell^2}\sin\frac{\pi x}\ell+e^{-9\pi^2t/\ell^2}\sin\frac{3\pi x}\ell$ です。第 3 モードは第 1 モードの $9$ 倍の速さで減衰するので、十分時間が経つと形は基本モード $\sin\frac{\pi x}\ell$ に近づきます。弦の場合は各モードの振幅が保たれる（エネルギー保存）のと対照的に、熱では高い振動数ほど速く散逸して解が滑らかになる（$t>0$ で $C^\infty$）というのが、2 つの方程式の違いの源です。

8. 演習

演習 8.1易

$q\ge0$ とする。(SL) の固有値はすべて正であることを示せ。（したがって $0$ は固有値ではなく、Green 関数が存在する。）

解答

$\varphi$ を実数値の固有関数とすると、部分積分と $\varphi(a)=\varphi(b)=0$ により $\lambda\int w\varphi^2=\int(L\varphi)\varphi=\int(p\varphi'^2+q\varphi^2)\ge0$ です。$\int w\varphi^2>0$ なので $\lambda\ge0$。$\lambda=0$ なら $\varphi'\equiv0$ から $\varphi$ は定数で、$\varphi(a)=0$ により $\varphi\equiv0$ となり矛盾です。ゆえに $\lambda>0$ です。

演習 8.2標準

$y''+q(x)y=0$ で $q(x)\ge4$ とする。$[0,\pi]$ 上の自明でない実数値の解は、$[0,\pi]$ に異なる零点を少なくとも 2 つ持つことを示せ。

解答

$z(x)=\sin2x$ は $z''+4z=0$ の解で、零点 $0,\pi/2,\pi$ を持ちます。定理 3.1 を、$z$ を「$y$」（$g_1=4$）、考える解を「$z$」（$g_2=q\ge4$）として、$z$ の隣り合う零点 $(0,\pi/2)$ と $(\pi/2,\pi)$ に適用します。考える解 $y$ が $\sin2x$ の定数倍でないなら、$y$ は開区間 $(0,\pi/2)$ と $(\pi/2,\pi)$ の両方に零点を持ち、これらは異なる点です。定数倍なら零点 $0,\pi/2,\pi$ を持ちます。いずれにしても異なる零点が 2 つ以上あります。

演習 8.3標準

$-y''+y=f$、$y(0)=y(1)=0$ の Green 関数を求めよ。

解答

$u_1=\sinh x$、$u_2=\sinh(x-1)$ です（$u_1'(0)=1$、$u_2'(1)=1$）。$W=u_1u_2'-u_1'u_2=\sinh x\cosh(x-1)-\cosh x\sinh(x-1)=\sinh(x-(x-1))=\sinh1$ です。したがって

$$G(x,t)=-\frac{\sinh(\min\{x,t\})\,\sinh(\max\{x,t\}-1)}{\sinh1}=\frac{\sinh(\min\{x,t\})\,\sinh(1-\max\{x,t\})}{\sinh1}$$

です。$0$ は固有値でない（演習 8.1、$q=1\ge0$）ので前提を満たし、$G\ge0$ で、解は $f\ge0$ なら $y\ge0$ です。

演習 8.4標準

$\ell=\pi$、$u_0(x)=x(\pi-x)$ として 定理 7.4 の解を求め、$t=0$、$x=\frac\pi2$ を代入して $\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}=\frac{\pi^3}{32}$ を導け。

解答

$\int_0^\pi x(\pi-x)\sin nx\,dx=\frac{2(1-(-1)^n)}{n^3}$（部分積分を 2 回）なので $a_n=\frac2\pi\cdot\frac{2(1-(-1)^n)}{n^3}=\frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3}$、すなわち $n$ が奇数で $\frac8{\pi n^3}$、偶数で $0$ です。$u_0\in C^2$ で $u_0(0)=u_0(\pi)=0$ なので 定理 7.4 が使え、$u(x,t)=\frac8\pi\sum_{k\ge0}\frac{e^{-(2k+1)^2t}}{(2k+1)^3}\sin(2k+1)x$ です。$t=0$、$x=\frac\pi2$ では $u_0(\frac\pi2)=\frac{\pi^2}4$、$\sin\frac{(2k+1)\pi}2=(-1)^k$ なので $\frac{\pi^2}4=\frac8\pi\sum_k\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}$ で、結論の値 $\frac{\pi^3}{32}$ を得ます。

参考文献

• E. A. Coddington and N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955 — Chapter 7（Sturm–Liouville 問題の固有値と固有関数）。
• P. Hartman, Ordinary Differential Equations, SIAM, 2002 — Chapter XI（振動理論）。
• G. Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, 2012 — Chapter 5（Sturm–Liouville 理論、Prüfer 変換）。
• 吉田耕作・加藤敏夫『大学演習 常微分方程式』裳華房 — 境界値問題。
• M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, Academic Press, 1972 — Chapter VI（コンパクト作用素とHilbert–Schmidtの定理）。