数学 › 常微分方程式 › Sturm–Liouville 問題と Green 関数

振動定理

定理 4.2（「Sturm–Liouville 問題と Green 関数」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 49 件、定義なども含めて 62 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性

  • C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性

    • ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値

      • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
  • 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性

    • 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性

      • 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
      • 微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
    • Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
    • 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性

      • C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
      • Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
      • 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
  • 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性

    • Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
    • 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
  • コンパクト集合上の連続関数の一様連続性✓補題 2.3・常微分方程式の初等解法

    • ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性

      • 閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性 この先をたどる →
      • コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性 この先をたどる →
      • ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
      • ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性 この先をたどる →
      • 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
    • 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間

      • ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
  • Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性

    • 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理

      • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
• 1 階線形方程式の解の公式✓定理 4.2・常微分方程式の初等解法

  • 微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分

    • 向き付き積分の加法性✓命題 4.2・積分の基本定理と定積分

      • 定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
    • 定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分

      • リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
      • 細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分
  • 導関数が 0 の関数✓補題 2.2・常微分方程式の初等解法

    • 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
• 固有値の基本性質✓命題 2.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数

  • Lagrange の恒等式✓補題 2.1・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
  • 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系

    • C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
    • 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
    • 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性

      • 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
      • 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
      • Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• 固有関数展開の完備性✓定理 6.1・Sturm–Liouville 問題と Green 関数

関連するノック 1 問

• 常微分方程式 第 35 問