数学 › 常微分方程式 › Sturm–Liouville 問題と Green 関数

固有関数展開の完備性

定理 6.1（「Sturm–Liouville 問題と Green 関数」§6）・ ✓公理まで証明済み

(SL) の固有関数を $\varphi_1,\varphi_2,\dots$ （ $\varphi_n$ は $\lambda_n$ の実数値固有関数で $\|\varphi_n\|_w=1$ ）とすると、 $\{\varphi_n\}_{n\ge1}$ は $H$ の正規直交基底である。すなわち任意の $f\in H$ について

f=\sum_{n=1}^{\infty}\langle f,\varphi_n\rangle_w\,\varphi_n\quad(H\text{ の意味で}),\qquad\|f\|_w^2=\sum_n|\langle f,\varphi_n\rangle_w|^2

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 80 件、定義なども含めて 94 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

振動定理✓定理 4.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
- 初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性
  - C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
    ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値この先をたどる →
  - 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性
    初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
    最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
    最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性この先をたどる →
  - コンパクト集合上の連続関数の一様連続性✓補題 2.3・常微分方程式の初等解法
    ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
    距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間この先をたどる →
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
    導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 1 階線形方程式の解の公式✓定理 4.2・常微分方程式の初等解法
  - 微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分
    向き付き積分の加法性✓命題 4.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 導関数が 0 の関数✓補題 2.2・常微分方程式の初等解法
    導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 固有値の基本性質✓命題 2.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数（上で展開済み）
Hilbert–Schmidt 作用素と L² 積分核✓定理 6.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
Hilbert–Schmidt 作用素の性質✓命題 6.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
- Hilbert–Schmidt ノルムの基底によらなさ✓命題 6.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定この先をたどる →
    数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
    複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定この先をたどる →
    ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定この先をたどる →
    比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定この先をたどる →
- 有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
- ノルムは固有値として達成される✓補題 4.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - 自己共役作用素のスペクトル✓定理 6.10・有界作用素と共役作用素
    共役の基本性質✓命題 3.3・有界作用素と共役作用素
    正規作用素のスペクトル半径✓系 6.8・有界作用素と共役作用素この先をたどる →
- コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
- 対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - 有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
Green 関数による境界値問題の解✓定理 5.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
固有値の基本性質✓命題 2.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
- Lagrange の恒等式✓補題 2.1・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
- 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系
  - C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

正弦関数系の完全性✓命題 6.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
弦の振動の変数分離解✓定理 7.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数

固有関数展開の完備性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件