数学 › 関数解析と作用素論 › コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

Hilbert–Schmidt 作用素と L² 積分核

定理 6.4（「コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス」§6） ・ ✓公理まで証明済み

(X,μ)(X, \mu) を σ\sigma-有限な測度空間で L2(X,μ)L^2(X,\mu) が可分なものとする。A∈B(L2(X,μ))A\in\mathcal{B}(L^2(X,\mu)) が Hilbert–Schmidt 作用素であるための必要十分条件は、ある k∈L2(X×X,μ⊗μ)k\in L^2(X\times X, \mu\otimes\mu) によって

(Af)(x)=∫Xk(x,y)f(y) dμ(y)(μ-a.e. x)(Af)(x) = \int_Xk(x,y)f(y)\,d\mu(y)\qquad(\mu\text{-a.e. } x)

と表されることである。このとき ∥A∥2=∥k∥L2(X×X)\|A\|_2 = \|k\|_{L^2(X\times X)} であり、kk は AA から μ⊗μ\mu\otimes\mu-a.e. で一意に定まる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理 証明で参照している 12 件

関連するノック 3 問