数学 › 関数解析と作用素論 › コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

Hilbert–Schmidt 作用素の性質

命題 6.3（「コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 16 件、定義なども含めて 17 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Hilbert–Schmidt ノルムの基底によらなさ✓命題 6.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

  • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定

    • 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定

      • 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
    • 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
    • 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定

      • 三角不等式✓定理 3.4・複素数と複素平面 この先をたどる →
      • 共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面 この先をたどる →
      • 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定（上で展開済み）
      • 絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定 この先をたどる →
      • 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
      • 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
    • ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定

      • 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
      • 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定（上で展開済み）
      • 絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定 この先をたどる →
      • 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
    • 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定

      • 有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
      • 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
• 有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

  • コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

これを使っている定理 証明で参照している 7 件

• 熱核によるスペクトル分解✓定理 5.2・熱核の漸近展開
• Shale–Stinespring の定理（分極の形）✓定理 4.2・外場 QED と Shale–Stinespring の定理
• 時間発展の実装可能性✓定理 6.1・外場 QED と Shale–Stinespring の定理
• トレースによる双対性✓定理 7.8・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
• 固有関数展開の完備性✓定理 6.1・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
• 連続な核をもつ作用素の積のトレース✓補題 3.4・Lüscher (1977)
• V が Hilbert–Schmidt のときの標準形✓補題 4.1・Bogoliubov 変換と Shale の定理

関連するノック 3 問

• 関数解析と作用素論 第 18 問
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