数学 › 微分幾何学 › 熱核の漸近展開

熱核によるスペクトル分解

定理 5.2（「熱核の漸近展開」§5） ・ ✓公理まで証明済み

PP を Laplace 型作用素、KK をその熱核とし、MM の次元は 11 以上とする。

  1. 滑らかな切断からなる L2(E)L^2(E) の正規直交基底 (φj)j≥0(\varphi_j)_{j\ge0} と実数 λ0≤λ1≤⋯\lambda_0\le\lambda_1\le\cdots があって、Pφj=λjφjP\varphi_j=\lambda_j\varphi_j、Ttφj=e−tλjφj\mathcal{T}_t\varphi_j=e^{-t\lambda_j}\varphi_j（t>0t\gt0）である。λj≥−cF\lambda_j\ge-c_F、各値は有限回しか現れず、λj→∞\lambda_j\to\infty。さらに ψ∈Γ(E)\psi\in\Gamma(E) が Pψ=λψP\psi=\lambda\psi をみたせば、ψ\psi は λj=λ\lambda_j=\lambda となる φj\varphi_j の 1 次結合である。
  2. t>0t\gt0、x∈Mx\in M について ∑je−tλj∣φj(x)∣2=tr⁡Kt(x,x)\sum_je^{-t\lambda_j}|\varphi_j(x)|^2=\operatorname{tr}K_t(x,x)。とくに ∑je−tλj=∫Mtr⁡Kt(x,x) dμ(x)<∞\sum_je^{-t\lambda_j}=\int_M\operatorname{tr}K_t(x,x)\,d\mu(x)\lt\infty。
  3. (φ(x)⊗φ(y)∗)e=⟨e,φ(y)⟩φ(x)(\varphi(x)\otimes\varphi(y)^*)e=\langle e,\varphi(y)\rangle\varphi(x) と書くと、0<t0<T0\lt t_0\lt T について
Kt(x,y)=∑je−tλj φj(x)⊗φj(y)∗K_t(x,y)=\sum_je^{-t\lambda_j}\,\varphi_j(x)\otimes\varphi_j(y)^*

は [t0,T]×M×M[t_0,T]\times M\times M 上で絶対一様収束する。 4. Tt\mathcal{T}_t はトレースクラスで、EE の連続な自己準同型の場 Φ\Phi について ΦTt\Phi\mathcal{T}_t もトレースクラスであり、

Tr⁡(ΦTt)=∫Mtr⁡(Φ(x)Kt(x,x)) dμ(x).\operatorname{Tr}(\Phi\mathcal{T}_t)=\int_M\operatorname{tr}\bigl(\Phi(x)K_t(x,x)\bigr)\,d\mu(x).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 248 件、定義なども含めて 283 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 4 件