−4Δ + V の最小固有値と正の固有関数

補題 4.2（「ポアンカレ予想 II」§4）・ ✓公理まで証明済み

$(M,g)$ を連結な向き付けられた閉 Riemann 多様体、 $V$ を $M$ 上の滑らかな関数とし、 $L=-4\Delta+V$ 、 $\mathcal{E}_V(\phi)=\int_M(4|\nabla\phi|^2+V\phi^2)dV$ と置く。

$L$ は滑らかな固有関数からなる $L^2(M)$ の正規直交基底 $(\phi_j)_{j\ge1}$ と固有値 $\lambda_1\le\lambda_2\le\cdots\to\infty$ を持つ。すべての滑らかな関数 $\phi$ について $\mathcal{E}_V(\phi)\ge\lambda_1\int_M\phi^2dV$ で、等号は $L\phi=\lambda_1\phi$ のときに限る。
$\lambda_1$ の固有空間は $1$ 次元で、至るところ正の関数で張られる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 250 件、定義なども含めて 286 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - 接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
  - Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
  - 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
- 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理この先をたどる →
Laplace 型作用素定義 2.1・熱核の漸近展開
熱核によるスペクトル分解✓定理 5.2・熱核の漸近展開
- 熱作用素の基本性質✓命題 5.1・熱核の漸近展開
  - 熱核の存在・一意性・近似✓定理 4.6・熱核の漸近展開この先をたどる →
  - 近似核の作用の評価✓補題 4.1・熱核の漸近展開この先をたどる →
  - コーシー・シュワルツの不等式と三角不等式✓命題 2.2・Hilbert 空間の基礎
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 多様体上の軟化作用素✓補題 8.5・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - 熱方程式の解の一意性✓補題 4.4・熱核の漸近展開この先をたどる →
  - 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開（上で展開済み）
  - 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Hilbert–Schmidt 作用素定義 6.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
- Hilbert–Schmidt 作用素の性質✓命題 6.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - Hilbert–Schmidt ノルムの基底によらなさ✓命題 6.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
  - 有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
- Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - ノルムは固有値として達成される✓補題 4.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
  - コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - 対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理この先をたどる →
- 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開
  - Clifford 加群と Dirac 型作用素定義 5.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
  - 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
- Schatten クラスとトレースクラス定義 7.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
- Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
- トレースの定義と基本性質✓定理 7.7・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性
- 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性この先をたどる →
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
Riemann 距離✓命題 4.3・測地線と完備性
- 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性この先をたどる →
- 測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性（上で展開済み）
Gauss の補題✓定理 4.1・測地線と完備性
- 指数写像の微分と Jacobi 場✓命題 3.4・測地線と完備性この先をたどる →
- 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル
スカラー最大値原理（ODE との比較）✓定理 5.1・ポアンカレ予想 I
測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性
- Gauss の補題✓定理 4.1・測地線と完備性（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

λ は最小固有値で、Ricci flow に沿って非減少△命題 4.3・ポアンカレ予想 II

−4Δ + V の最小固有値と正の固有関数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件