スカラー最大値原理（ODE との比較）

$M$ を閉多様体、$g(t)$（$t\in[0,T]$）を $M$ 上の Riemann 計量の滑らかな族、$F\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を局所 Lipschitz 連続な関数とする。$u\colon M\times[0,T]\to\mathbb{R}$ を滑らかな関数、$\varphi\colon[0,T]\to\mathbb{R}$ を常微分方程式 $\varphi'=F(\varphi)$ の解とする。

1. $\dfrac{\partial u}{\partial t}\ge\Delta_{g(t)}u+F(u)$ かつ $u(\cdot,0)\ge\varphi(0)$ ならば、$M\times[0,T]$ 上で $u\ge\varphi$。
2. $\dfrac{\partial u}{\partial t}\le\Delta_{g(t)}u+F(u)$ かつ $u(\cdot,0)\le\varphi(0)$ ならば、$M\times[0,T]$ 上で $u\le\varphi$。