数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 I

スカラー曲率の最小値の単調性と存在時間の上界

系 5.2（「ポアンカレ予想 I」§5）・ ✓公理まで証明済み

$g(t)$ （ $t\in[0,T)$ ）を $n$ 次元閉多様体 $M$ 上の Ricci flow の解とし、 $R_{\min}(t)=\min_MR(\cdot,t)$ と置く。

$R_{\min}(t)$ は $t$ について非減少である。
$R_{\min}(0)=\rho_0\gt0$ ならば $R_{\min}(t)\ge\frac{1}{\rho_0^{-1}-2t/n}\qquad\text{かつ}\qquad T\le\frac{n}{2\rho_0}.$
$\rho_0\gt0$ について $R_{\min}(0)\ge-\rho_0$ ならば、すべての $t\in[0,T)$ で $R_{\min}(t)\ge-\frac{n}{2}\cdot\frac{1}{t+n/(2\rho_0)}.$

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 9 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

スカラー曲率と体積要素の発展方程式✓定理 4.2・ポアンカレ予想 I
- 曲率の変分公式✓補題 4.1・ポアンカレ予想 I
  - Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
- 縮約 Bianchi 恒等式✓系 5.2・曲率テンソル
  - 第 2 Bianchi 恒等式✓定理 5.1・曲率テンソル
  - 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル
スカラー最大値原理（ODE との比較）✓定理 5.1・ポアンカレ予想 I

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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