数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 I

曲率の変分公式

補題 4.1（「ポアンカレ予想 I」§4） ・ ✓公理まで証明済み

g(s)g(s) を多様体 MM 上の Riemann 計量の滑らかな族とし、h=∂g/∂sh=\partial g/\partial s（対称 22 テンソル）、H=gijhijH=g^{ij}h_{ij} と置く。共変微分と添字の上げ下げを g(s)g(s) で行うと、次が成り立つ。

  1. ∂∂sgij=−hij\dfrac{\partial}{\partial s}g^{ij}=-h^{ij}。
  2. ∂∂sΓijk=Aijk:=12gkl(∇ihjl+∇jhil−∇lhij)\dfrac{\partial}{\partial s}\Gamma^k_{ij}=A^k_{ij}:=\dfrac12g^{kl}\bigl(\nabla_ih_{jl}+\nabla_jh_{il}-\nabla_lh_{ij}\bigr)。
  3. ∂∂sRijkl=∇iAjkl−∇jAikl\dfrac{\partial}{\partial s}R_{ijk}{}^l=\nabla_iA^l_{jk}-\nabla_jA^l_{ik}。
  4. ∂∂sRjk=12(∇l∇jhkl+∇l∇khjl−Δhjk−∇j∇kH)\dfrac{\partial}{\partial s}R_{jk}=\dfrac12\bigl(\nabla^l\nabla_jh_{kl}+\nabla^l\nabla_kh_{jl}-\Delta h_{jk}-\nabla_j\nabla_kH\bigr)。
  5. ∂∂sR=−⟨h,Ric⁡⟩+∇j∇khjk−ΔH\dfrac{\partial}{\partial s}R=-\langle h,\operatorname{Ric}\rangle+\nabla^j\nabla^kh_{jk}-\Delta H。ここで ⟨h,Ric⁡⟩=hjkRjk\langle h,\operatorname{Ric}\rangle=h^{jk}R_{jk}。
  6. ∂∂sdV=12H dV\dfrac{\partial}{\partial s}dV=\dfrac12H\,dV。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 5 件