数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 II

F の第一変分

補題 3.2（「ポアンカレ予想 II」§3） ・ ✓公理まで証明済み

g(s)g(s)、f(s)f(s) を計量と関数の滑らかな族とし、∂sg=h\partial_sg=h、∂sf=k\partial_sf=k、H=gijhijH=g^{ij}h_{ij} と置く。このとき

ddsF(g,f)=∫M[−⟨h,Ric⁡+∇2f⟩+(H2−k)(2Δf−∣∇f∣2+R)]e−f dV.\frac{d}{ds}\mathcal{F}(g,f)=\int_M\Bigl[-\bigl\langle h,\operatorname{Ric}+\nabla^2f\bigr\rangle+\Bigl(\frac H2-k\Bigr)\bigl(2\Delta f-|\nabla f|^2+R\bigr)\Bigr]e^{-f}\,dV .

とくに測度 e−fdVe^{-f}dV を変えない変分（H2−k=0\frac H2-k=0）については ddsF=−∫M⟨h,Ric⁡+∇2f⟩ e−fdV\dfrac{d}{ds}\mathcal{F}=-\displaystyle\int_M\langle h,\operatorname{Ric}+\nabla^2f\rangle\,e^{-f}dV である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件