ポアンカレ予想 II：Perelman のエントロピー公式と非崩壊定理

0. この記事の要点

図形を少しずつなめらかにしていく変形を続けると、ある時刻に、曲がりが急に大きくなって破綻する場所が出ることがあります。その直前の図形が「つぶれて細くなっていない」と言えるかどうかが、ポアンカレ予想の証明で残った大きな問いでした。この記事では、変形に沿って減らない量を作ると、その問いに答えが出ることを、計算を省かずに追います。読み終えると、減らない量がなぜ減らないのか、そこから体積がつぶれないことがどう出るのかを説明できるようになります。

• 対象は G. Perelman の第 1 論文 “The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications”（arXiv:math/0211159、2002 年 11 月）です。§1〜§4 の内容を証明つきで、§7〜§12 の内容を命題として述べます。
• $\mathcal{F}$ 汎関数 $\mathcal{F}(g,f)=\int(R+|\nabla f|^2)e^{-f}dV$ は、Ricci flow と $f$ の逆向きの熱方程式（共役熱方程式。時間をさかのぼる向きに進める熱方程式）を連立させると $\frac{d}{dt}\mathcal{F}=2\int|\operatorname{Ric}+\nabla^2f|^2e^{-f}dV\ge0$ を満たします（定理 3.3）。Ricci flow は微分同相を法として勾配流（ある量が最も増える向きへ進む流れ）です。
• $\lambda(g)=\inf\mathcal{F}$ は $-4\Delta+R$ の最小固有値で、Ricci flow に沿って減りません（命題 4.3）。これから、閉多様体上の定常 breather（周期的に元の形に戻る解で、拡大も縮小もしないもの）は Ricci 平坦だと分かります（系 4.5）。
• スケールのパラメータ $\tau$ を入れた $\mathcal{W}$ 汎関数も単調で、$\frac{d}{dt}\mathcal{W}=2\tau\int|\operatorname{Ric}+\nabla^2f-\frac{g}{2\tau}|^2u\,dV\ge0$ です（定理 5.2）。$\mathbb{R}^n$ では $\mathcal{W}\ge0$ が Gross の対数 Sobolev 不等式そのものです（命題 5.4）。
• 非崩壊定理（定理 6.2）: 閉多様体上の Ricci flow が有限時間 $[0,T)$ で存在すれば、曲率が $r^{-2}$ 以下の半径 $r\le\sqrt T$ の球の体積は $\kappa r^n$ 以上です。$\kappa$ は初期計量と $T$ だけで決まります。証明は $\mu=\inf\mathcal{W}$ の単調性と、つぶれた球に台を持つ試験関数の計算です。
• 非崩壊により、特異点の近くで拡大した極限（$\kappa$-解。非負曲率で崩壊しない古代解、すなわち過去へ無限にのびる解）が取れます。$3$ 次元の $\kappa$-解の構造と標準近傍定理（曲率の大きい点の近傍は首・帽子・正曲率の閉多様体のいずれか）は主張のみとし、論文の節番号を付けて述べます。

この記事で使う事前知識

• Ricci flow: 計量を $\partial_tg=-2\operatorname{Ric}$ に従って動かす発展方程式。→ Ricci flow
• スカラー曲率・断面曲率: Ricci 曲率の縮約がスカラー曲率、2 次元平面ごとの曲がり具合が断面曲率。→ スカラー曲率・断面曲率
• 勾配ソリトン: Ricci flow が微分同相と拡大縮小だけで動く解のうち、ポテンシャル関数の勾配で書けるもの。→ 勾配ソリトン
• 対数 Sobolev 不等式: 関数のエントロピーを勾配の大きさで抑える不等式。→ 対数 Sobolev 不等式
• 固有空間: 固有値ごとに、その固有値の固有ベクトル全体がつくる空間。→ 固有空間
• Sobolev 空間の埋め込み: 微分の大きさで関数の積分可能性を抑える不等式の枠組み。→ Sobolev 空間

1. 動機

第 4 章 の終わりで、Hamilton の計画に残っていた障害を 2 つ挙げました。特異点の近くで計量を拡大した列が崩壊しないこと、そして極限として現れる解の分類です。Perelman の第 1 論文は、この 2 つを解決するために、それまでの Ricci flow の研究に無かった種類の量を導入しました。流れに沿って単調に変わる積分量です。

熱方程式 $\partial_tu=\Delta u$ の正の解について、Boltzmann のエントロピー $-\int u\log u$ は増加し、その時間微分（Fisher 情報量）$\int|\nabla u|^2/u$ は減少します。Perelman の $\mathcal{F}$ はこの Fisher 情報量に曲率の項 $R$ を足したもので、$\mathcal{W}$ はそれにスケールの補正を入れたものです。計量が動くので、関数 $u$ の方は時間を逆向きに流します（共役熱方程式）。この組み合わせで単調性が成り立つことが発見の中身です。

単調な量があると、流れは「戻れない」ことが分かります。周期的に元の形に戻る解（breather）は、等号が成り立つ特別な場合、すなわちソリトンに限られます。さらに $\mathcal{W}$ の下限 $\mu$ は、小さな球の体積が半径に比べて小さすぎると $-\infty$ へ向かう性質を持つので、$\mu$ が減らないことから、体積がつぶれないことが出ます。これが非崩壊定理です。

論文の構成と、この記事の節との対応は次のとおりです。節番号は arXiv 版（v1）のものです。

論文の節	内容	この記事
§1（1.1〜1.4）	$\mathcal{F}$ 汎関数、第一変分、勾配流としての Ricci flow	§3（証明）
§2（2.1〜2.4）	breather、$\lambda$、定常・拡大 breather の非存在	§4（定常の場合を証明）
§3（3.1〜3.2）	$\mathcal{W}$ 汎関数、単調性公式 (3.4)、$\mu$ と $\nu$、縮小 breather	§5（証明）
§4（4.1〜4.2）	非崩壊定理 I、$\kappa$-非崩壊の定義	§6（証明）
§5・§6	統計力学との類推、無限次元の Riemann 幾何としての解釈	扱わない（発見的な議論）
§7（7.1〜7.3）	$\mathcal{L}$ 長さ、簡約距離、簡約体積の単調性	§7.1（定義と $\mathbb{R}^n$ の計算。単調性は主張のみ）
§8（8.1〜8.3）	非崩壊定理 II（局所版）	§7.1 の注意
§9（9.1〜9.5）	共役熱方程式の解の微分 Harnack 不等式	§7.2（主張のみ）
§10	擬局所性定理	扱わない（ポアンカレ予想の証明には使わない）
§11（11.1〜11.9）	非負曲率の古代解（$\kappa$-解）	§7.3（主張のみ）
§12（12.1〜12.4）	$3$ 次元のほとんど非負の曲率、標準近傍定理	§7.4（主張のみ）
§13	幾何化予想の証明の素描	第 6 章

2. 準備

2.1. 記号と部分積分

記号は第 4 章と同じです。$(M,g)$ は $n$ 次元 Riemann 多様体、$R$ はスカラー曲率、$\Delta=g^{ij}\nabla_i\nabla_j$、$\nabla^2f$ は Hesse 形式、$dV$ は体積要素です。積分を書くとき $M$ は向き付けられた閉多様体とします。閉多様体では、ベクトル場 $X$ について $\int_M\operatorname{div}X\,dV=0$ です（命題 3.3［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］）。これから、関数 $\phi,\psi$ と対称 $2$ テンソル $h$ について

$$\int_M\phi\,\Delta\psi\,dV=-\int_M\langle\nabla\phi,\nabla\psi\rangle\,dV=\int_M\psi\,\Delta\phi\,dV,\qquad \int_M\phi\,\nabla^i\nabla^jh_{ij}\,dV=\int_Mh_{ij}\nabla^i\nabla^j\phi\,dV$$

が出ます。第 1 式は $X=\phi\nabla\psi$ の発散 $\langle\nabla\phi,\nabla\psi\rangle+\phi\Delta\psi$ を積分したものです。第 2 式は $X^i=\phi\nabla_jh^{ij}-h^{ij}\nabla_j\phi$ の発散

$$\nabla_i\phi\,\nabla_jh^{ij}+\phi\,\nabla_i\nabla_jh^{ij}-\nabla_ih^{ij}\,\nabla_j\phi-h^{ij}\nabla_i\nabla_j\phi=\phi\,\nabla_i\nabla_jh^{ij}-h^{ij}\nabla_i\nabla_j\phi$$

（$h$ の対称性で第 1 項と第 3 項が打ち消し合う）を積分したものです。以下この 2 つを「部分積分」と呼んで断りなく使います。

ねらいは、閉多様体の上でも、平らな空間と同じように「微分を相手の関数に移す」部分積分が使えると確かめることです。以後の単調性の証明は、積分の中の微分をこの規則で動かして、きれいな平方の形に整理する計算が中心になります。

関数 $f$ について、$e^{-f}$ の微分は

$$\nabla e^{-f}=-e^{-f}\nabla f,\qquad \nabla_i\nabla_je^{-f}=e^{-f}\bigl(\nabla_if\nabla_jf-\nabla_i\nabla_jf\bigr),\qquad \Delta e^{-f}=e^{-f}\bigl(|\nabla f|^2-\Delta f\bigr)$$

です。とくに $\int_M(\Delta f-|\nabla f|^2)e^{-f}dV=-\int_M\Delta e^{-f}dV=0$、すなわち

$$\int_M\Delta f\,e^{-f}dV=\int_M|\nabla f|^2e^{-f}dV$$

です。この等式は何度も使います。

補題 2.1（関数に対する Bochner の公式）✓

Riemann 多様体上の滑らかな関数 $f$ について

$$\Delta\nabla_kf=\nabla_k\Delta f+R_{kl}\nabla^lf,\qquad \tfrac12\Delta|\nabla f|^2=|\nabla^2f|^2+\langle\nabla f,\nabla\Delta f\rangle+\operatorname{Ric}(\nabla f,\nabla f).$$

証明（補題 2.1）

ベクトル場 $V$ の 2 階の共変微分を $(\nabla^2V)(X,Y)=\nabla_X\nabla_YV-\nabla_{\nabla_XY}V$ と置き、成分を $\nabla_i\nabla_kV^l$ と書きます。$\nabla$ は捩れがないので $\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]$ で、

$$(\nabla^2V)(X,Y)-(\nabla^2V)(Y,X)=\nabla_X\nabla_YV-\nabla_Y\nabla_XV-\nabla_{[X,Y]}V=\operatorname{Rm}(X,Y)V$$

です（定義 2.1［曲率テンソル］）。成分で $\nabla_i\nabla_kV^l-\nabla_k\nabla_iV^l=R_{ikm}{}^lV^m$ で、$l=i$ と縮約すると、$R_{ikm}{}^i=R_{km}$（定義 4.1［曲率テンソル］）から

$$\nabla_i\nabla_kV^i=\nabla_k\nabla_iV^i+R_{km}V^m .$$

$V=\nabla f$ とします。Hesse 形式は対称なので $\nabla_kV^i=\nabla^i\nabla_kf$ で、左辺は $\nabla_i\nabla^i\nabla_kf=\Delta\nabla_kf$、右辺は $\nabla_k\Delta f+R_{km}\nabla^mf$ です。これが第 1 式です。第 2 式は、$\frac12\Delta|\nabla f|^2=\nabla^i(\nabla_i\nabla_kf\,\nabla^kf)=|\nabla^2f|^2+\nabla^kf\,\Delta\nabla_kf$ に第 1 式を入れたものです。

∎

これは $1$ 形式 $df$ に対する Bochner の公式（系 5.4［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］、一般の形は Weitzenböck 公式 定理 5.3［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］）を添字で書いたものです。

2.2. 共役熱方程式

定義 2.2（熱作用素と共役熱作用素）↗

$g(t)$ を Ricci flow の解とする。$M\times[t_1,t_2]$ 上の関数に作用する作用素

$$\Box=\frac{\partial}{\partial t}-\Delta_{g(t)},\qquad \Box^*=-\frac{\partial}{\partial t}-\Delta_{g(t)}+R$$

を熱作用素、共役熱作用素という。$\Box^*u=0$ を共役熱方程式という。

$\Box^*$ は時間について逆向きの熱方程式です。終端の時刻 $t_2$ でデータを与えて、過去に向かって解きます。$R$ の項は、体積要素が $\partial_tdV=-R\,dV$ で変わる（定理 4.2［ポアンカレ予想 I］）ことを補うために入っています。

命題 2.3（熱作用素と共役熱作用素の双対性）✓

$g(t)$（$t\in[t_1,t_2]$）を向き付けられた閉多様体 $M$ 上の Ricci flow の解、$u,v$ を $M\times[t_1,t_2]$ 上の滑らかな関数とする。このとき

$$\frac{d}{dt}\int_Muv\,dV=\int_M\bigl(v\,\Box u-u\,\Box^*v\bigr)\,dV .$$

とくに $\Box^*v=0$ ならば $\int_Mv\,dV$ は $t$ によらない。

証明（命題 2.3）

$\partial_tdV=-R\,dV$ なので

$$\frac{d}{dt}\int_Muv\,dV=\int_M\bigl(v\,\partial_tu+u\,\partial_tv-Ruv\bigr)dV .$$

$\partial_tu=\Box u+\Delta u$、$\partial_tv=-\Box^*v-\Delta v+Rv$ を入れると、被積分関数は $v\,\Box u+v\Delta u-u\,\Box^*v-u\Delta v$ です。部分積分で $\int v\Delta u\,dV=\int u\Delta v\,dV$ なので、主張の式を得ます。後半は $u\equiv1$（$\Box u=0$）とした場合です。

∎

共役熱方程式の解の存在は、線形放物型方程式の一般論によります。

補題 2.4（共役熱方程式の可解性）※

$M$ を閉多様体、$g(t)$（$t\in[t_1,t_2]$）を $M$ 上の Riemann 計量の滑らかな族、$c$ を $M\times[t_1,t_2]$ 上の滑らかな関数、$u_2$ を $M$ 上の滑らかな関数とする。このとき $M\times[t_1,t_2]$ 上の滑らかな関数 $u$ で

$$-\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta_{g(t)}u-cu,\qquad u(\cdot,t_2)=u_2$$

を満たすものがただ 1 つ存在する。

注意 2.5（主張のみ：理由と出典）

この補題は主張のみとし、証明を付けません。時間を $s=t_2-t$ と逆にすると、係数が時間に依る線形の放物型方程式 $\partial_su=\Delta_{g(t_2-s)}u-cu$ の初期値問題です。Rikai にある熱核の構成（定理 4.6［熱核の漸近展開］）は計量が時間によらない場合のもので、時間に依る係数の場合のパラメトリクスの構成（または Hölder 空間での Schauder 評価）は Rikai にまだありません。第 4 章の 定理 6.2［ポアンカレ予想 I］ が依る放物型方程式の理論の線形の部分にあたります。証明は A. Friedman『Partial Differential Equations of Parabolic Type』にあります（Euclid 空間の領域の場合。閉多様体へは座標近傍と 1 の分割で移します）。一意性だけなら第 4 章の最大値原理から従います。この補題は、$\lambda$ と $\mu$ の単調性（命題 4.3、命題 5.3）で、終端の関数から出発する解を作るところだけに使います。単調性公式そのもの（定理 3.3、定理 5.2）は、与えられた解についての計算で、この補題に依りません。

補題 2.6（共役熱方程式の解の正値性）✓

$g(t)$（$t\in[t_1,t_2]$）を向き付けられた閉多様体 $M$ 上の Ricci flow の解とし、$u$ を $\Box^*u=0$ の滑らかな解で $u(\cdot,t_2)\gt0$ を満たすものとする。$K=\max_{M\times[t_1,t_2]}|R|$、$m=\min_Mu(\cdot,t_2)$ と置くと、$M\times[t_1,t_2]$ 上で

$$u(x,t)\ge m\,e^{-K(t_2-t)}\gt0 .$$

証明（補題 2.6）

$s=t_2-t$ を新しい時間とし、$\hat u(x,s)=u(x,t_2-s)$、$\hat g(s)=g(t_2-s)$ と置くと、$\partial_s\hat u=\Delta_{\hat g(s)}\hat u-R\hat u$ です。$S=t_2-t_1$ とし、

$$s^*=\sup\{s\in[0,S]:\ M\times[0,s]\text{ 上で }\hat u\gt0\}$$

と置きます。$\hat u(\cdot,0)\ge m\gt0$ と $M$ のコンパクト性から $s^*\gt0$ です。$0\lt s'\lt s^*$ を取ります。$v=e^{Ks}\hat u$ は $M\times[0,s']$ 上で正で、

$$\partial_sv=\Delta v+(K-R)v\ge\Delta v$$

を満たします。第 4 章のスカラー最大値原理（定理 5.1［ポアンカレ予想 I］ (1)、$F=0$、$\varphi\equiv m$）から $v\ge m$、すなわち $\hat u\ge me^{-Ks}$ が $M\times[0,s']$ で成り立ちます。$s'\uparrow s^*$ として、連続性から $\hat u(\cdot,s^*)\ge me^{-Ks^*}\gt0$ です。もし $s^*\lt S$ なら、コンパクト性から $s^*$ を少し超えた時刻まで $\hat u\gt0$ となり、$s^*$ の定義に反します。よって $s^*=S$ で、評価は $M\times[0,S]$ 全体で成り立ちます。

∎

3. F 汎関数と勾配流

3.1. 定義と第一変分

定義 3.1（F 汎関数）↗

向き付けられた閉多様体 $M$ 上の Riemann 計量 $g$ と滑らかな関数 $f$ に対し

$$\mathcal{F}(g,f)=\int_M\bigl(R+|\nabla f|^2\bigr)e^{-f}\,dV$$

と定める。

論文の 1.1 節の冒頭の定義です。$f$ は弦理論でディラトン場と呼ばれるもので、$\mathcal{F}$ は低エネルギー有効作用として知られていた式です（論文 1.4 節）。$dm=e^{-f}dV$ という測度を考えると、$\mathcal{F}$ は「測度つき Riemann 多様体のスカラー曲率 $2\Delta f-|\nabla f|^2+R$ の積分」と読めます（上の等式 $\int\Delta fe^{-f}=\int|\nabla f|^2e^{-f}$ による）。

補題 3.2（F の第一変分）✓

$g(s)$、$f(s)$ を計量と関数の滑らかな族とし、$\partial_sg=h$、$\partial_sf=k$、$H=g^{ij}h_{ij}$ と置く。このとき

$$\frac{d}{ds}\mathcal{F}(g,f)=\int_M\Bigl[-\bigl\langle h,\operatorname{Ric}+\nabla^2f\bigr\rangle+\Bigl(\frac H2-k\Bigr)\bigl(2\Delta f-|\nabla f|^2+R\bigr)\Bigr]e^{-f}\,dV .$$

とくに測度 $e^{-f}dV$ を変えない変分（$\frac H2-k=0$）については $\dfrac{d}{ds}\mathcal{F}=-\displaystyle\int_M\langle h,\operatorname{Ric}+\nabla^2f\rangle\,e^{-f}dV$ である。

証明（補題 3.2）

被積分関数の各因子の変分を求めます。第 4 章の変分公式（補題 4.1［ポアンカレ予想 I］ (1)(5)(6)）から

$$\partial_sR=-\langle h,\operatorname{Ric}\rangle+\nabla^i\nabla^jh_{ij}-\Delta H,\qquad \partial_s\bigl(e^{-f}dV\bigr)=\Bigl(\frac H2-k\Bigr)e^{-f}dV,$$$$\partial_s|\nabla f|^2=\partial_s\bigl(g^{ij}\partial_if\,\partial_jf\bigr)=-h^{ij}\nabla_if\nabla_jf+2\langle\nabla f,\nabla k\rangle .$$

よって

$$\frac{d}{ds}\mathcal{F}=\int_M\Bigl[-\langle h,\operatorname{Ric}\rangle+\nabla^i\nabla^jh_{ij}-\Delta H-h(\nabla f,\nabla f)+2\langle\nabla f,\nabla k\rangle+\bigl(R+|\nabla f|^2\bigr)\Bigl(\frac H2-k\Bigr)\Bigr]e^{-f}dV .$$

微分のかかった 3 項を、2.1 節の部分積分と $e^{-f}$ の微分の式で書き直します。

$$\begin{aligned} \int_M\nabla^i\nabla^jh_{ij}\,e^{-f}dV&=\int_Mh_{ij}\nabla^i\nabla^je^{-f}dV=\int_M\bigl(h(\nabla f,\nabla f)-\langle h,\nabla^2f\rangle\bigr)e^{-f}dV,\\ -\int_M\Delta H\,e^{-f}dV&=-\int_MH\,\Delta e^{-f}dV=-\int_MH\bigl(|\nabla f|^2-\Delta f\bigr)e^{-f}dV,\\ \int_M2\langle\nabla f,\nabla k\rangle e^{-f}dV&=-2\int_M\langle\nabla e^{-f},\nabla k\rangle dV=2\int_Mk\,\Delta e^{-f}dV=2\int_Mk\bigl(|\nabla f|^2-\Delta f\bigr)e^{-f}dV . \end{aligned}$$

代入すると $h(\nabla f,\nabla f)$ は打ち消し合い、第 2・第 3 式の和は $-2(\frac H2-k)(|\nabla f|^2-\Delta f)$ の積分なので

$$\frac{d}{ds}\mathcal{F}=\int_M\Bigl[-\langle h,\operatorname{Ric}+\nabla^2f\rangle+\Bigl(\frac H2-k\Bigr)\bigl(-2|\nabla f|^2+2\Delta f+R+|\nabla f|^2\bigr)\Bigr]e^{-f}dV$$

となり、主張の式です。

∎

測度 $dm=e^{-f}dV$ を固定すると、$f$ は $g$ から $f=\log(dV/dm)$ と決まり、$\mathcal{F}$ は $g$ だけの汎関数 $\mathcal{F}^m(g)$ になります。補題の後半は、$L^2(dm)$ の内積についての $\mathcal{F}^m$ の勾配が $-(\operatorname{Ric}+\nabla^2f)$ であることを言っています。したがって勾配流（の 2 倍）は

$$\frac{\partial g}{\partial t}=-2\bigl(\operatorname{Ric}+\nabla^2f\bigr),\qquad \frac{\partial f}{\partial t}=-R-\Delta f$$

です（第 2 式は $\frac H2-k=0$ から。論文の式 (1.1)）。$\nabla^2f=\frac12L_{\operatorname{grad}f}g$ なので（第 4 章の 補題 3.3［ポアンカレ予想 I］）、第 1 式は Ricci flow を $\operatorname{grad}f$ の生成する微分同相で引き戻したものです。引き戻しを外すと $g$ は Ricci flow に従い、$f$ の方程式には移流の項 $|\nabla f|^2$ が加わって $\partial_tf=-\Delta f+|\nabla f|^2-R$ となります（論文の式 (1.3)）。次の定理はこの形で述べ、引き戻しを経由せずに直接証明します。

「勾配」の意味は有限次元と同じです。関数 $F$ の勾配とは、各方向への変化量 $dF$ を内積で表すベクトルのことです。ここでは変化の方向が計量の変化 $h$ で、内積を測度 $dm$ での積分で取ります。補題の後半は、変化 $h$ に対する $\mathcal{F}$ の変化量が $h$ と $-(\operatorname{Ric}+\nabla^2f)$ の内積で書けることを述べているので、後者が勾配です。

3.2. 単調性公式

定理 3.3（F の単調性）✓

$M$ を向き付けられた閉多様体とし、$g(t)$、$f(t)$（$t\in[t_1,t_2]$）が

$$\frac{\partial g}{\partial t}=-2\operatorname{Ric},\qquad \frac{\partial f}{\partial t}=-\Delta f+|\nabla f|^2-R$$

を満たすとする。このとき $\int_Me^{-f}dV$ は $t$ によらず、

$$\frac{d}{dt}\mathcal{F}(g(t),f(t))=2\int_M\bigl|\operatorname{Ric}+\nabla^2f\bigr|^2e^{-f}\,dV\ \ge0 .$$

$f$ の方程式は、$u=e^{-f}$ が共役熱方程式 $\Box^*u=0$ を満たすことと同値である。

証明（定理 3.3）

共役熱方程式との同値。 $u=e^{-f}$ について $\partial_tu=-u\,\partial_tf$、$\Delta u=u(|\nabla f|^2-\Delta f)$ なので

$$\Box^*u=-\partial_tu-\Delta u+Ru=u\bigl(\partial_tf+\Delta f-|\nabla f|^2+R\bigr)$$

で、$u\gt0$ から $\Box^*u=0$ と $f$ の方程式は同値です。命題 2.3 の後半により $\int_Me^{-f}dV$ は一定です。

第一変分の適用。 補題 3.2 を $h=-2\operatorname{Ric}$、$k=-\Delta f+|\nabla f|^2-R$ で使います。$H=-2R$ なので $\frac H2-k=\Delta f-|\nabla f|^2$ で、

$$\frac{d}{dt}\mathcal{F}=\int_M2\langle\operatorname{Ric},\operatorname{Ric}+\nabla^2f\rangle e^{-f}dV+J,\qquad J:=\int_M\bigl(\Delta f-|\nabla f|^2\bigr)\bigl(2\Delta f-|\nabla f|^2+R\bigr)e^{-f}dV .$$

示すべき式の右辺は $2\int\langle\operatorname{Ric},\operatorname{Ric}+\nabla^2f\rangle e^{-f}+2\int\langle\nabla^2f,\operatorname{Ric}+\nabla^2f\rangle e^{-f}$ なので、

$$J=2\int_M\bigl(|\nabla^2f|^2+\langle\nabla^2f,\operatorname{Ric}\rangle\bigr)e^{-f}dV$$

を示せば十分です。

$J$ の計算。 $(\Delta f-|\nabla f|^2)e^{-f}=-\Delta e^{-f}$ なので、部分積分で

$$J=-\int_Me^{-f}\,\Delta\bigl(2\Delta f-|\nabla f|^2+R\bigr)dV .$$

3 つの項を別々に計算します。$\nabla e^{-f}=-e^{-f}\nabla f$ を使って

$$-2\int_Me^{-f}\Delta\Delta f\,dV=2\int_M\langle\nabla e^{-f},\nabla\Delta f\rangle dV=-2\int_M\langle\nabla f,\nabla\Delta f\rangle e^{-f}dV,$$$$-\int_Me^{-f}\Delta R\,dV=\int_M\langle\nabla e^{-f},\nabla R\rangle dV=-\int_M\langle\nabla f,\nabla R\rangle e^{-f}dV,$$

そして 補題 2.1 から

$$\int_Me^{-f}\Delta|\nabla f|^2dV=\int_M\bigl(2|\nabla^2f|^2+2\langle\nabla f,\nabla\Delta f\rangle+2\operatorname{Ric}(\nabla f,\nabla f)\bigr)e^{-f}dV .$$

足すと $\langle\nabla f,\nabla\Delta f\rangle$ の項が打ち消し合い

$$J=\int_M\bigl(2|\nabla^2f|^2+2\operatorname{Ric}(\nabla f,\nabla f)-\langle\nabla f,\nabla R\rangle\bigr)e^{-f}dV .$$

$\langle\nabla^2f,\operatorname{Ric}\rangle$ の項。 部分積分と縮約 Bianchi 恒等式 $\nabla^iR_{ij}=\frac12\nabla_jR$（系 5.2［曲率テンソル］）から

$$\int_MR_{ij}\nabla^i\nabla^jf\,e^{-f}dV=-\int_M\nabla^i\bigl(e^{-f}R_{ij}\bigr)\nabla^jf\,dV=\int_M\bigl(\operatorname{Ric}(\nabla f,\nabla f)-\tfrac12\langle\nabla R,\nabla f\rangle\bigr)e^{-f}dV .$$

これを 2 倍して $2\int|\nabla^2f|^2e^{-f}$ を足したものは、上の $J$ の式に一致します。

∎

等号 $\frac{d}{dt}\mathcal{F}=0$ が成り立つのは $\operatorname{Ric}+\nabla^2f=0$、すなわち定常勾配ソリトン（第 4 章の 定義 3.2［ポアンカレ予想 I］）のときです。論文の式 (1.4) がこの定理です。

4. 最小固有値 λ と定常 breather

4.1. λ(g) の定義と固有値問題

定義 4.1（λ(g)）↗

向き付けられた閉多様体 $M$ 上の Riemann 計量 $g$ に対し

$$\lambda(g)=\inf\Bigl\{\mathcal{F}(g,f):\ f\in C^\infty(M),\ \int_Me^{-f}dV=1\Bigr\}$$

と定める。

$\phi=e^{-f/2}$ と置くと $|\nabla f|^2e^{-f}=4|\nabla\phi|^2$ なので

$$\mathcal{F}(g,f)=\int_M\bigl(4|\nabla\phi|^2+R\phi^2\bigr)dV=:\mathcal{E}(\phi),\qquad \int_M\phi^2dV=1$$

です。右辺は作用素 $-4\Delta+R$ の 2 次形式です。$f$ が滑らかな関数全体を動くとき $\phi$ は正の滑らかな関数全体を動くので、$\lambda(g)$ を固有値と結びつけるには、最小固有値の固有関数が正に取れることが要ります。

次の補題はそのためのもので、証明は長いので筋を先に述べます。(1) 固有関数で展開すると、2 次形式 $\mathcal{E}_V$ の値は最小固有値以上になり、等号は最小固有値の固有関数のときに限ります。(2) 最小固有値の固有関数 $\phi$ は、絶対値 $|\phi|$ をとっても固有関数のままなので、非負の固有関数が取れます。最後に、非負の固有関数が $0$ になる点を持てないことを距離関数を使った比較で示し、固有空間が $1$ 次元であることまで導きます。

補題 4.2（−4Δ + V の最小固有値と正の固有関数）✓

$(M,g)$ を連結な向き付けられた閉 Riemann 多様体、$V$ を $M$ 上の滑らかな関数とし、$L=-4\Delta+V$、$\mathcal{E}_V(\phi)=\int_M(4|\nabla\phi|^2+V\phi^2)dV$ と置く。

1. $L$ は滑らかな固有関数からなる $L^2(M)$ の正規直交基底 $(\phi_j)_{j\ge1}$ と固有値 $\lambda_1\le\lambda_2\le\cdots\to\infty$ を持つ。すべての滑らかな関数 $\phi$ について $\mathcal{E}_V(\phi)\ge\lambda_1\int_M\phi^2dV$ で、等号は $L\phi=\lambda_1\phi$ のときに限る。
2. $\lambda_1$ の固有空間は $1$ 次元で、至るところ正の関数で張られる。

証明（補題 4.2）

(1) 関数に作用する $-\Delta$ は、自明な直線束の $\nabla^*\nabla$ です（命題 3.3［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］）。$P=-\Delta+\frac14V$ は Laplace 型作用素（定義 2.1［熱核の漸近展開］）なので、定理 5.2［熱核の漸近展開］ (1) により、滑らかな固有関数の正規直交基底 $(\phi_j)$ と固有値 $\lambda_j/4\to\infty$ があり、各固有空間は有限次元です。$L=4P$ の固有値が $\lambda_j$ です。滑らかな $\phi$ に対し $a_j=\int\phi\phi_jdV$ と置きます。部分積分から $\mathcal{E}_V(\phi)=\int\phi\,L\phi\,dV$、$\int(L\phi)\phi_jdV=\int\phi\,L\phi_jdV=\lambda_ja_j$ なので、Parseval の等式を $\phi$ と $L\phi$ の内積に使って

$$\mathcal{E}_V(\phi)=\sum_j\lambda_ja_j^2\ \ge\ \lambda_1\sum_ja_j^2=\lambda_1\int_M\phi^2dV .$$

等号は $\lambda_j\gt\lambda_1$ となる $j$ すべてで $a_j=0$ のとき、すなわち $\phi$ が $\lambda_1$ の固有関数の有限個の $1$ 次結合に（$L^2$ で、したがって連続性から各点で）等しいときに限ります。

(2) 固有関数の絶対値も固有関数。 $\phi$ を $\lambda_1$ の固有関数、$\varepsilon\gt0$ とし、$\psi_\varepsilon=\sqrt{\phi^2+\varepsilon^2}$ と置きます。$\psi_\varepsilon$ は滑らかで、$\nabla\psi_\varepsilon=\phi\nabla\phi/\psi_\varepsilon$ から $|\nabla\psi_\varepsilon|\le|\nabla\phi|$ です。よって

$$\mathcal{E}_V(\psi_\varepsilon)\le\mathcal{E}_V(\phi)+\varepsilon^2\int_MV\,dV=\lambda_1\int_M\phi^2dV+\varepsilon^2\int_MV\,dV .$$

$b_j=\int\psi_\varepsilon\phi_jdV$ と置くと、(1) の展開と $\int\psi_\varepsilon^2=\int\phi^2+\varepsilon^2\operatorname{vol}(M)$ から

$$\sum_j(\lambda_j-\lambda_1)b_j^2=\mathcal{E}_V(\psi_\varepsilon)-\lambda_1\int_M\psi_\varepsilon^2dV\le\varepsilon^2\Bigl(\int_MV\,dV-\lambda_1\operatorname{vol}(M)\Bigr).$$

$\lambda_1$ の固有空間 $E_1$ への直交射影を $\Pi$、$\lambda_1$ より大きい固有値の最小値を $\lambda_1+\delta$（$\delta\gt0$）とすると、$\|\psi_\varepsilon-\Pi\psi_\varepsilon\|_{L^2}^2=\sum_{\lambda_j\gt\lambda_1}b_j^2\le C\varepsilon^2/\delta$ です。$\varepsilon\to0$ で $\psi_\varepsilon\to|\phi|$ は一様収束なので $L^2$ でも収束し、$\Pi$ の連続性から $\Pi|\phi|=|\phi|$ です。$E_1$ は有限次元なので、$|\phi|$ は滑らかな固有関数とほとんど至るところ一致し、両方が連続なので各点で一致します。

非負の固有関数は正。 $\psi\ge0$ を $0$ でない $\lambda_1$ の固有関数とし、$Z=\{\psi=0\}$ が空でないと仮定します。$C=1+\frac14\max|V-\lambda_1|$ と置くと、$\psi\ge0$ から

$$\Delta\psi=\tfrac14(V-\lambda_1)\psi\le C\psi .$$

$Z$ は閉集合で $Z\ne M$ です。$M$ は連結なので $Z$ は開集合でなく、$Z$ の内点でない点 $z\in Z$ があります。補題 4.4［測地線と完備性］ により、$z$ の開近傍 $W$ と $\delta_0\gt0$ で、すべての $x\in W$ について $\exp_x$ が $B_{\delta_0}(0)$ 上で像への微分同相になるものがあります。$\psi(q)\gt0$、$q\in W$、$d(q,z)\lt\delta_0/2$ となる点 $q$ を取り、$r=d(q,Z)$（$0\lt r\lt\delta_0/2$）、$p\in Z$ を $d(q,p)=r$ となる点とします。$\rho(x)=d(q,x)$ と置きます。距離球 $\{\rho\lt\delta_0\}$ は測地球に一致し（命題 4.3［測地線と完備性］）、そこで $\rho^2=|\exp_q^{-1}(x)|^2$ は滑らかです。$q$ 以外では $\rho$ も滑らかで、Gauss の補題（定理 4.1［測地線と完備性］）から動径方向の単位ベクトル場が $\operatorname{grad}\rho$ に等しく、$|\nabla\rho|=1$ です。開球 $\{\rho\lt r\}$ の上で $\psi\gt0$ です。

$\alpha\gt0$ に対し $b=e^{-\alpha\rho^2}-e^{-\alpha r^2}$ と置きます。$D=\max_{\rho\le r}|\Delta(\rho^2)|$ とすると、円環 $A=\{r/2\lt\rho\lt r\}$ の上で

$$\Delta b=e^{-\alpha\rho^2}\bigl(\alpha^2|\nabla\rho^2|^2-\alpha\Delta(\rho^2)\bigr)=e^{-\alpha\rho^2}\bigl(4\alpha^2\rho^2-\alpha\Delta(\rho^2)\bigr)\ge e^{-\alpha\rho^2}\bigl(\alpha^2r^2-\alpha D\bigr)$$

で、$b\le e^{-\alpha\rho^2}$ なので $\Delta b-Cb\ge e^{-\alpha\rho^2}(\alpha^2r^2-\alpha D-C)$ です。$\alpha$ を大きく取って右辺を正にします。内側の球面 $\{\rho=r/2\}$ はコンパクトで $\psi\gt0$ なので、そこでの $\psi$ の最小値 $m$ は正です。$b\le1$ なので $\varepsilon=m$ とすれば、$k=\psi-\varepsilon b$ は内側の球面で $k\ge0$、外側の球面 $\{\rho=r\}$ では $b=0$ なので $k=\psi\ge0$ です。$A$ の内部では

$$\Delta k=\Delta\psi-\varepsilon\Delta b\lt C\psi-\varepsilon Cb=Ck .$$

$k$ が $\bar A$ 上で負の最小値を内点 $x_0$ で取ったとすると、$\Delta k(x_0)\ge0$（最小点。第 4 章の 定理 5.1［ポアンカレ予想 I］ の証明の中と同じ計算）ですが、$\Delta k(x_0)\lt Ck(x_0)\lt0$ で矛盾します。よって $\bar A$ 上で $\psi\ge\varepsilon b$ です。

$p$ から $q$ へ向かう単位速度の最短測地線を $\gamma$ とすると（定理 4.2［測地線と完備性］）、$\rho(\gamma(s))=r-s$ で、小さい $s\ge0$ について

$$\psi(\gamma(s))\ge\varepsilon\bigl(e^{-\alpha(r-s)^2}-e^{-\alpha r^2}\bigr).$$

両辺は $s=0$ で $0$ で、右辺の $s=0$ での微分は $2\varepsilon\alpha re^{-\alpha r^2}\gt0$ なので、$\frac{d}{ds}\psi(\gamma(s))|_{s=0}\gt0$ です。一方 $p$ は $\psi\ge0$ の最小点なので $d\psi_p=0$ で、矛盾です。したがって $Z=\varnothing$ です。

固有空間は $1$ 次元。 $\phi\in E_1$、$\phi\ne0$ とします。$|\phi|$ は $0$ でない非負の固有関数なので至るところ正で、$\phi$ は零点を持たず、連結な $M$ の上で符号が一定です。$E_1$ が $2$ 次元以上なら、直交する 2 つの固有関数 $\phi,\phi'$ が取れますが、どちらも符号が一定なので $\int\phi\phi'dV\ne0$ となり矛盾します。

∎

命題 4.3（λ は最小固有値で、Ricci flow に沿って非減少）△

$M$ を連結な向き付けられた閉多様体とする。

1. $\lambda(g)$ は $-4\Delta+R$ の最小固有値 $\lambda_1$ に等しい。下限は、正で $\int\phi_1^2dV=1$ を満たす固有関数 $\phi_1$ から決まる $f=-2\log\phi_1$ で、そしてそれだけで達成される。この $f$ は $$2\Delta f-|\nabla f|^2+R=\lambda(g)$$ を満たす。
2. 微分同相 $\psi$ と定数 $c\gt0$ について $\lambda(\psi^*g)=\lambda(g)$、$\lambda(cg)=c^{-1}\lambda(g)$。
3. $g(t)$（$t\in[t_1,t_2]$）が Ricci flow の解ならば $\lambda(g(t_1))\le\lambda(g(t_2))$。
4. (3) で等号が成り立つならば、$f(\cdot,t_2)$ を時刻 $t_2$ での最小化関数として 定理 3.3 の連立系を解いた $f$ について、すべての $t\in[t_1,t_2]$ で $\operatorname{Ric}+\nabla^2f=0$ が成り立ち、各 $f(\cdot,t)$ は時刻 $t$ での最小化関数である。

証明（命題 4.3）

(1) 補題 4.2 を $V=R$ で使います。$f$ が $\int e^{-f}=1$ を満たす滑らかな関数なら $\phi=e^{-f/2}$ は滑らかで $\int\phi^2=1$ なので、$\mathcal{F}(g,f)=\mathcal{E}(\phi)\ge\lambda_1$、よって $\lambda(g)\ge\lambda_1$ です。正の固有関数 $\phi_1$ について $f=-2\log\phi_1$ は滑らかで $\mathcal{F}(g,f)=\mathcal{E}(\phi_1)=\lambda_1$ なので $\lambda(g)=\lambda_1$ です。$\mathcal{F}(g,f)=\lambda_1$ なら補題の (1) の等号条件から $e^{-f/2}$ は $\lambda_1$ の固有関数で、(2) から正規化された正の固有関数は $\phi_1$ だけです。方程式は、$\phi=e^{-f/2}$ について $\Delta\phi=\phi(\frac14|\nabla f|^2-\frac12\Delta f)$ なので

$$-4\Delta\phi+R\phi=\phi\bigl(2\Delta f-|\nabla f|^2+R\bigr)$$

となることから従います。

(2) $\mathcal{F}(\psi^*g,f\circ\psi)=\mathcal{F}(g,f)$ から前半が出ます。$cg$ については $R(cg)=c^{-1}R(g)$、$|\nabla f|^2_{cg}=c^{-1}|\nabla f|^2_g$、$dV_{cg}=c^{n/2}dV_g$ なので、$\tilde f=f+\frac n2\log c$ と置くと $\int e^{-\tilde f}dV_{cg}=\int e^{-f}dV_g$、$\mathcal{F}(cg,\tilde f)=c^{-1}\mathcal{F}(g,f)$ です。

(3) $f_2$ を $\int e^{-f_2}dV_{g(t_2)}=1$ を満たす任意の滑らかな関数とします。補題 2.4（$c=R$）により、$\Box^*u=0$、$u(\cdot,t_2)=e^{-f_2}$ の滑らかな解 $u$ があり、補題 2.6 により $u\gt0$ です。$f=-\log u$ は滑らかで、定理 3.3 の連立系を満たし、$\int e^{-f}dV=1$ が保たれ、$\mathcal{F}$ は非減少です。よって

$$\lambda(g(t_1))\le\mathcal{F}(g(t_1),f(t_1))\le\mathcal{F}(g(t_2),f_2).$$

$f_2$ について下限を取って $\lambda(g(t_1))\le\lambda(g(t_2))$ です。

(4) $f_2$ を時刻 $t_2$ での最小化関数とすると、(3) の不等式の列は $\lambda(g(t_1))\le\mathcal{F}(t_1)\le\mathcal{F}(t_2)=\lambda(g(t_2))=\lambda(g(t_1))$ となり、すべて等号です。$\mathcal{F}(t)$ は非減少で両端の値が等しいので一定で、定理 3.3 から $\int|\operatorname{Ric}+\nabla^2f|^2e^{-f}dV=0$、すなわち $\operatorname{Ric}+\nabla^2f=0$ がすべての $t$ で成り立ちます。また (3) を区間 $[t_1,t]$ と $[t,t_2]$ に使うと $\lambda(g(t))$ は $\lambda(g(t_1))=\lambda(g(t_2))$ に挟まれて一定で、$\mathcal{F}(g(t),f(t))=\lambda(g(t))$ なので $f(\cdot,t)$ は最小化関数です。

∎

論文の 2.2 節の内容です。そこでは 3 行で述べられていますが、最小化関数の存在と正値性（上の補題）と、共役熱方程式を過去に向かって解くこと（補題 2.4）が使われています。

4.2. 定常 breather は Ricci 平坦

定義 4.4（breather）↗

多様体 $M$ 上の Ricci flow の解 $g(t)$ が breather であるとは、ある時刻 $t_1\lt t_2$、定数 $\alpha\gt0$、微分同相 $\psi\colon M\to M$ があって $g(t_2)=\alpha\,\psi^*g(t_1)$ となることをいう。$\alpha=1$、$\alpha\lt1$、$\alpha\gt1$ に応じて定常、縮小、拡大 breather という。

論文の 2.1 節の定義です。Ricci flow を「計量全体の空間を微分同相と相似で割った空間」の上の力学系と見ると、ソリトンは不動点、breather は周期軌道にあたります。

系 4.5（閉多様体上の定常 breather は Ricci 平坦）△

$M$ を連結な向き付けられた閉多様体、$g(t)$ を $M$ 上の Ricci flow の解とし、$t_1\lt t_2$ と微分同相 $\psi$ について $g(t_2)=\psi^*g(t_1)$ とする。このとき、すべての $t\in[t_1,t_2]$ で $\operatorname{Ric}(g(t))=0$ であり、$g(t)$ は $t$ によらない。

証明（系 4.5）

命題 4.3 (2) から $\lambda(g(t_2))=\lambda(g(t_1))$ です。同じ命題の (4) により、関数の族 $f(\cdot,t)$ で、各 $t\in[t_1,t_2]$ について $\operatorname{Ric}+\nabla^2f=0$ を満たし、$f(\cdot,t)$ が時刻 $t$ の最小化関数であるものがあります。$t$ を固定し、$\lambda=\lambda(g(t))$ と書きます。ソリトンの式のトレースを取ると $R+\Delta f=0$ です。最小化関数の方程式（命題 4.3 (1)）$2\Delta f-|\nabla f|^2+R=\lambda$ に $R=-\Delta f$ を入れると

$$\Delta f-|\nabla f|^2=\lambda .$$

両辺に $e^{-f}$ を掛けて積分します。左辺の積分は 2.1 節の等式から $0$、右辺は $\lambda\int e^{-f}dV=\lambda$ なので $\lambda=0$ です。すると $\Delta e^{-f}=e^{-f}(|\nabla f|^2-\Delta f)=0$ で、$e^{-f}$ は調和関数です。$\int|\nabla e^{-f}|^2dV=-\int e^{-f}\Delta e^{-f}dV=0$ から $e^{-f}$ は定数、したがって $f$ は定数で $\nabla^2f=0$、$\operatorname{Ric}(g(t))=0$ です。$\partial_tg=-2\operatorname{Ric}=0$ なので $g(t)$ は一定です。

∎

論文の 2.2 節と 2.4 節の議論です。拡大 breather についても、スケール不変な量 $\bar\lambda(g)=\lambda(g)\operatorname{vol}(g)^{2/n}$ を使って、閉多様体上では Einstein 計量に限ることが示されます（2.3 節）。縮小 breather は $\lambda$ では扱えません。丸い球面のような縮小ソリトンが実際にあり、$\mathcal{F}$ はスケール不変でないからです。これを扱うのが次の節の $\mathcal{W}$ です。

5. W 汎関数（エントロピー）

5.1. 定義

定義 5.1（W 汎関数・μ・ν）↗

向き付けられた閉 $n$ 次元多様体 $M$ 上の Riemann 計量 $g$、滑らかな関数 $f$、実数 $\tau\gt0$ に対し、$u=(4\pi\tau)^{-n/2}e^{-f}$ と置いて

$$\mathcal{W}(g,f,\tau)=\int_M\bigl[\tau\bigl(R+|\nabla f|^2\bigr)+f-n\bigr]\,u\,dV$$

と定める。さらに

$$\mu(g,\tau)=\inf\Bigl\{\mathcal{W}(g,f,\tau):\ f\in C^\infty(M),\ \int_Mu\,dV=1\Bigr\},\qquad \nu(g)=\inf_{\tau\gt0}\mu(g,\tau)$$

と定める。

論文の式 (3.1)(3.2) と、その直後の $\mu$、$\nu$ の定義です。$\tau$ は長さの 2 乗の次元を持つスケールのパラメータで、$u$ は「時刻 $\tau$ の熱核」$(4\pi\tau)^{-n/2}e^{-|x|^2/4\tau}$ の形を真似た重みです。定数 $c\gt0$ について $R(cg)=c^{-1}R(g)$、$|\nabla f|^2_{cg}=c^{-1}|\nabla f|^2_g$、$dV_{cg}=c^{n/2}dV_g$ なので

$$\mathcal{W}(cg,f,c\tau)=\mathcal{W}(g,f,\tau),\qquad \mu(cg,c\tau)=\mu(g,\tau)$$

です。$\mathcal{F}$ と違って、計量とスケールを同時に相似拡大しても値が変わりません。

$\mathcal{F}$ では計量を拡大すると値が変わり、丸い球面のような縮小するソリトンを見分けられませんでした。そこで、熱核の形を真似た重み $u$ とスケール $\tau$ を入れ、定数 $n$ を引く補正も加えたものが $\mathcal{W}$ です。拡大に対して値が変わらず、縮小勾配ソリトンで等号が成り立つように選ばれています。

$w=e^{-f/2}$（正の滑らかな関数）で書き直すと、$|\nabla f|^2e^{-f}=4|\nabla w|^2$、$fe^{-f}=-w^2\log w^2$ から

$$\mathcal{W}(g,f,\tau)=(4\pi\tau)^{-n/2}\int_M\bigl[\tau\bigl(4|\nabla w|^2+Rw^2\bigr)-w^2\log w^2-nw^2\bigr]dV=:\widetilde{\mathcal{W}}(g,w,\tau)$$

で、条件は $(4\pi\tau)^{-n/2}\int_Mw^2dV=1$ です。右辺は $w\ge0$ の滑らかな関数に対しても（$0\log0=0$ として）意味を持ちます。

5.2. 単調性公式

定理 5.2（W の単調性（Perelman のエントロピー公式））✓

$M$ を向き付けられた閉 $n$ 次元多様体とし、$g(t)$、$f(t)$、$\tau(t)\gt0$（$t\in[t_1,t_2]$）が

$$\frac{\partial g}{\partial t}=-2\operatorname{Ric},\qquad \frac{\partial f}{\partial t}=-\Delta f+|\nabla f|^2-R+\frac{n}{2\tau},\qquad \frac{d\tau}{dt}=-1$$

を満たすとする。$u=(4\pi\tau)^{-n/2}e^{-f}$ と置くと、$f$ の方程式は $\Box^*u=0$ と同値で、$\int_Mu\,dV$ は $t$ によらず、

$$\frac{d}{dt}\mathcal{W}(g(t),f(t),\tau(t))=2\tau\int_M\Bigl|\operatorname{Ric}+\nabla^2f-\frac{g}{2\tau}\Bigr|^2u\,dV\ \ge0 .$$

証明（定理 5.2）

共役熱方程式との同値。 $\hat f=f+\frac n2\log(4\pi\tau)$ と置くと $u=e^{-\hat f}$、$\nabla\hat f=\nabla f$ です。$d\tau/dt=-1$ から $\partial_t\hat f=\partial_tf-\frac{n}{2\tau}$ なので、$f$ の方程式は

$$\frac{\partial\hat f}{\partial t}=-\Delta\hat f+|\nabla\hat f|^2-R$$

と同値です。定理 3.3 により、これは $\Box^*u=0$ と同値で、$\int_Mu\,dV$ は一定です。

$\mathcal{W}$ の分解。 $\tilde{\mathcal F}=\int_M(R+|\nabla f|^2)u\,dV=\mathcal{F}(g,\hat f)$ と置くと

$$\mathcal{W}=\tau\,\tilde{\mathcal F}+\int_M(f-n)\,u\,dV .$$

定理 3.3 を $(g,\hat f)$ に使うと $\frac{d}{dt}\tilde{\mathcal F}=2\int|\operatorname{Ric}+\nabla^2f|^2u\,dV$ なので

$$\frac{d}{dt}\bigl(\tau\,\tilde{\mathcal F}\bigr)=-\tilde{\mathcal F}+2\tau\int_M|\operatorname{Ric}+\nabla^2f|^2u\,dV .$$

第 2 項は、命題 2.3 の証明と同じく $\partial_tdV=-R\,dV$、$\partial_tu-Ru=-\Delta u$ を使って

$$\frac{d}{dt}\int_M(f-n)u\,dV=\int_M\partial_tf\cdot u\,dV-\int_M(f-n)\Delta u\,dV=\int_M\Bigl(-\Delta f+|\nabla f|^2-R+\frac{n}{2\tau}\Bigr)u\,dV-\int_Mu\,\Delta f\,dV .$$

2.1 節の等式 $\int\Delta f\,u\,dV=\int|\nabla f|^2u\,dV$（$u$ は $e^{-f}$ の定数倍）から、右辺の第 1 の積分は $-\int Ru\,dV+\frac{n}{2\tau}$、第 2 の積分は $\int|\nabla f|^2u\,dV$ です。よって

$$\frac{d}{dt}\int_M(f-n)u\,dV=-\tilde{\mathcal F}+\frac{n}{2\tau},\qquad \frac{d}{dt}\mathcal{W}=2\tau\int_M|\operatorname{Ric}+\nabla^2f|^2u\,dV-2\tilde{\mathcal F}+\frac{n}{2\tau}.$$

平方完成。 $\langle\operatorname{Ric}+\nabla^2f,g\rangle=R+\Delta f$、$|g|^2=n$ なので

$$2\tau\int_M\Bigl|\operatorname{Ric}+\nabla^2f-\frac{g}{2\tau}\Bigr|^2u\,dV=2\tau\int_M|\operatorname{Ric}+\nabla^2f|^2u\,dV-2\int_M(R+\Delta f)u\,dV+\frac{n}{2\tau}.$$

再び $\int\Delta f\,u=\int|\nabla f|^2u$ から $\int(R+\Delta f)u\,dV=\tilde{\mathcal F}$ で、これは上の $\frac{d}{dt}\mathcal{W}$ の式に一致します。

∎

論文の式 (3.3)(3.4) です。等号が成り立つのは $\operatorname{Ric}+\nabla^2f=\frac{g}{2\tau}$、すなわち縮小勾配ソリトン（$\lambda=\frac1{2\tau}$）のときです。$\tau$ は特異時刻までの残り時間の役割をします。定理 3.3 の証明をそのまま使えたのは、$\hat f$ への置き換えで $\frac{n}{2\tau}$ の項が消えるからです。

命題 5.3（μ の単調性）△

$g(t)$（$t\in[t_1,t_2]$）を向き付けられた閉多様体 $M$ 上の Ricci flow の解、$\tau_2\gt0$ とし、$\tau(t)=\tau_2+t_2-t$ と置く。このとき

$$\mu\bigl(g(t_1),\tau(t_1)\bigr)\le\mu\bigl(g(t_2),\tau_2\bigr).$$

証明（命題 5.3）

$f_2$ を、$u_2=(4\pi\tau_2)^{-n/2}e^{-f_2}$ が $\int u_2dV_{g(t_2)}=1$ を満たす任意の滑らかな関数とします。補題 2.4（$c=R$）により $\Box^*u=0$、$u(\cdot,t_2)=u_2$ の滑らかな解 $u$ があり、補題 2.6 により $u\gt0$ です。$f=-\log u-\frac n2\log(4\pi\tau)$ は滑らかで、定理 5.2 の連立系を満たし、$\int u\,dV=1$ が保たれます。同定理から

$$\mu\bigl(g(t_1),\tau(t_1)\bigr)\le\mathcal{W}\bigl(g(t_1),f(t_1),\tau(t_1)\bigr)\le\mathcal{W}\bigl(g(t_2),f_2,\tau_2\bigr).$$

$f_2$ について下限を取ります。

∎

言い換えると、$T'\gt t_2$ を固定して $\tau=T'-t$ とすれば、$t\mapsto\mu(g(t),T'-t)$ は非減少です。$\tau$ を動かして下限を取った $\nu(g(t))$ も非減少になります（論文 3.1 節）。

5.3. Euclid 空間では対数 Sobolev 不等式

$\mathcal{W}$ が何を測っているかは、平坦な $\mathbb{R}^n$ で見ると分かります。$\gamma(dx)=(2\pi)^{-n/2}e^{-|x|^2/2}dx$ を標準 Gauss 測度とし、関数のクラス $\mathcal{A}=\{c+G:c\in\mathbb{R},\ G\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)\}$ とエントロピー $\mathrm{Ent}_\gamma$ は 定義 2.1［Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度］ のものとします。

命題 5.4（ℝⁿ の W と Gross の対数 Sobolev 不等式）✓

$F\in\mathcal{A}$ を至るところ正で $\int F^2d\gamma=1$ を満たす関数、$\tau\gt0$ とし、$\mathbb{R}^n$ 上の関数

$$f(x)=\frac{|x|^2}{4\tau}-2\log F\Bigl(\frac{x}{\sqrt{2\tau}}\Bigr)$$

を考える。このとき $(4\pi\tau)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-f}dx=1$ で、平坦な計量についての

$$\mathcal{W}_{\mathbb{R}^n}(f,\tau):=\int_{\mathbb{R}^n}\bigl[\tau|\nabla f|^2+f-n\bigr](4\pi\tau)^{-n/2}e^{-f}\,dx$$

は

$$\mathcal{W}_{\mathbb{R}^n}(f,\tau)=2\int_{\mathbb{R}^n}|\nabla F|^2d\gamma-\mathrm{Ent}_\gamma(F^2)$$

を満たす。したがって「この形のすべての $f$ について $\mathcal{W}_{\mathbb{R}^n}(f,\tau)\ge0$」は、上の条件を満たす $F$ についての Gauss 測度の対数 Sobolev 不等式 $\mathrm{Ent}_\gamma(F^2)\le2\int|\nabla F|^2d\gamma$ と同値であり、成り立つ。$F\equiv1$、すなわち $f=|x|^2/(4\tau)$ のとき $\mathcal{W}_{\mathbb{R}^n}=0$ である。

証明（命題 5.4）

$\tau=\frac12$ への帰着。 $x=\sqrt{2\tau}\,y$、$\tilde f(y)=f(\sqrt{2\tau}\,y)=\frac{|y|^2}{2}-2\log F(y)$ と置きます。$dx=(2\tau)^{n/2}dy$、$\nabla_xf=(2\tau)^{-1/2}\nabla_y\tilde f$ なので $\tau|\nabla_xf|^2=\frac12|\nabla_y\tilde f|^2$、$(4\pi\tau)^{-n/2}dx=(2\pi)^{-n/2}dy$ で

$$\mathcal{W}_{\mathbb{R}^n}(f,\tau)=\int_{\mathbb{R}^n}\Bigl[\tfrac12|\nabla\tilde f|^2+\tilde f-n\Bigr](2\pi)^{-n/2}e^{-\tilde f}dy,\qquad (2\pi)^{-n/2}e^{-\tilde f}dy=F^2\,d\gamma .$$

とくに正規化の条件は $\int F^2d\gamma=1$ です。$F$ はコンパクト集合の外で正の定数なので、$\log F$ と $\nabla F/F$ は有界で、積分はすべて収束します。

展開。 $\nabla\tilde f=y-2\nabla F/F$ なので $\frac12|\nabla\tilde f|^2=\frac12|y|^2-2\,y\cdot\nabla F/F+2|\nabla F|^2/F^2$ で、

$$\mathcal{W}_{\mathbb{R}^n}(f,\tau)=\int\bigl[2|\nabla F|^2-F^2\log F^2\bigr]d\gamma+\int\bigl[|y|^2F^2-y\cdot\nabla(F^2)-nF^2\bigr]d\gamma .$$

第 1 の積分は、$\int F^2d\gamma=1$ なので $2\int|\nabla F|^2d\gamma-\mathrm{Ent}_\gamma(F^2)$ です。

第 2 の積分は $0$。 $F=c+G$（$G$ はコンパクトな台）とすると $F^2-c^2$ はコンパクトな台を持ちます。$\operatorname{div}\bigl(y\,e^{-|y|^2/2}\bigr)=(n-|y|^2)e^{-|y|^2/2}$ なので、発散定理から

$$\int y\cdot\nabla(F^2-c^2)\,d\gamma=-\int(F^2-c^2)(n-|y|^2)\,d\gamma=\int(F^2-c^2)(|y|^2-n)\,d\gamma .$$

$\int|y|^2d\gamma=n$ なので $\int c^2(|y|^2-n)d\gamma=0$ で、$\int y\cdot\nabla(F^2)d\gamma=\int F^2(|y|^2-n)d\gamma$ です。これは第 2 の積分が $0$ であることを意味します。

不等式。 標準 Gauss 測度は $V(x)=\frac12|x|^2+\frac n2\log2\pi$ について $\nabla^2V=I$ を満たす $1$-強対数凹な確率測度なので、Bakry–Émery 判定（定理 4.2［Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度］）により $\mathrm{Ent}_\gamma(F^2)\le2\int|\nabla F|^2d\gamma$ がすべての $F\in\mathcal{A}$ で成り立ちます。$F\equiv1$ のとき両辺は $0$ です。

∎

論文 3.1 節の Claim の証明の末尾にある注意（「$f=|x|^2/2-2\log\phi$ と置いて部分積分する」）を実行したものです。対数 Sobolev 不等式は Poincaré 不等式より強い不等式で（命題 2.3［Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度］）、次元によらない定数で成り立つのが特徴です。$\mathcal{W}$ の単調性は、Ricci flow に沿って「対数 Sobolev 不等式の最良定数」が悪くならないことを言っている、と読めます。等号を与える $f=|x|^2/(4\tau)$ は、$\mathbb{R}^n$ を縮小勾配ソリトン $\nabla^2f=\frac{g}{2\tau}$ と見たときのポテンシャル（Gauss ソリトン）です。

例 5.5（丸い球面での W の値）

半径 $r$ の丸い球面 $S^n(r)$ は $\operatorname{Ric}=\frac{n-1}{r^2}g$ なので（第 4 章の 補題 3.4［ポアンカレ予想 I］）、$\tau=\frac{r^2}{2(n-1)}$ と定数関数 $f\equiv c$ について縮小ソリトンの式 $\operatorname{Ric}+\nabla^2f=\frac{g}{2\tau}$ が成り立ちます。$c$ は条件 $(4\pi\tau)^{-n/2}e^{-c}\operatorname{vol}(S^n(r))=1$ から $c=\log\bigl(\operatorname{vol}(S^n(r))/(4\pi\tau)^{n/2}\bigr)$ です。$\tau R=\frac{r^2}{2(n-1)}\cdot\frac{n(n-1)}{r^2}=\frac n2$ なので

$$\mathcal{W}\bigl(g,c,\tau\bigr)=\tau R+c-n=\log\frac{\operatorname{vol}(S^n(r))}{(4\pi\tau)^{n/2}}-\frac n2 .$$

$n=2$ では $r^2=2\tau$、面積 $4\pi r^2=8\pi\tau$ で $\mathcal{W}=\log2-1\approx-0.307$。$n=3$ では $r^2=4\tau$、体積 $2\pi^2r^3=16\pi^2\tau^{3/2}$、$(4\pi\tau)^{3/2}=8\pi^{3/2}\tau^{3/2}$ で $\mathcal{W}=\log(2\sqrt\pi)-\frac32\approx-0.234$ です。どちらも Gauss ソリトンの値 $0$ より小さくなっています。球面の体積が、同じスケールの Euclid 空間の「熱核の体積」$(4\pi\tau)^{n/2}e^{n/2}$ より小さいことを反映しています。この値は試験関数を 1 つ入れた値なので、$\mu(g,\tau)$ の上界です。

6. 非崩壊定理

6.1. 定義と主張

定義 6.1（κ-非崩壊）↗

$\kappa\gt0$、$\rho\in(0,\infty]$ とする。$n$ 次元 Riemann 多様体 $(M,g)$ がスケール $\rho$ で $\kappa$-非崩壊であるとは、任意の点 $x$ と $0\lt r\lt\rho$ について、距離球 $B(x,r)$ の各点ですべての断面曲率の絶対値が $r^{-2}$ 以下ならば

$$\operatorname{vol}B(x,r)\ge\kappa\,r^n$$

が成り立つことをいう。$\rho=\infty$ のときすべてのスケールで $\kappa$-非崩壊という。

論文 4.2 節の定義です（そこでは曲率の条件を $|\operatorname{Rm}|\le r^{-2}$ と書いています）。曲率が $r^{-2}$ 以下という条件は、半径 $r$ の球が「曲率のスケールより小さい」ことを言っています。その範囲では空間は Euclid 空間に近いはずで、体積が $r^n$ に比例する程度あることを要求するのが非崩壊です。平坦トーラス $\mathbb{R}^n/\varepsilon\mathbb{Z}^n$ は曲率が $0$ なのですべての $r$ が条件を満たしますが、$r$ が大きいと体積は $\varepsilon^n$ で頭打ちになり、大きなスケールでは崩壊しています。

崩壊の様子（模式図）。左は Euclid 平面の半径 r の球で、面積は r の 2 乗に比例する。右は平坦トーラス ℝ²/εℤ² で、全体の面積が ε² しかないので、同じ半径 r の球はトーラスを何周もし、面積は ε² 以下に頭打ちになる。

定理 6.2（非崩壊定理 I（Perelman））△

$M$ を向き付けられた閉 $n$ 次元多様体（$n\ge3$）、$g(t)$（$t\in[0,T)$、$T\lt\infty$）を $M$ 上の Ricci flow の解とする。このとき $g(0)$ と $T$ だけで決まる $\kappa\gt0$ があって、すべての $t\in[0,T)$、$x\in M$、$0\lt r\le\sqrt T$ について次が成り立つ: 時刻 $t$ の距離球 $B_{g(t)}(x,r)$ の上で $R\le n(n-1)r^{-2}$ ならば

$$\operatorname{vol}_{g(t)}B_{g(t)}(x,r)\ge\kappa\,r^n .$$

とくに各 $g(t)$ はスケール $\sqrt T$ で $\kappa$-非崩壊である。

断面曲率の絶対値がすべて $r^{-2}$ 以下なら $R\le n(n-1)r^{-2}$ なので、「とくに」以下が従います。スカラー曲率の上界だけで足りることは、証明で曲率が $\mathcal{W}$ の $\tau R$ の項にしか現れないことによります。証明は 6.3 節で行い、その前に必要な補題を 4 つ用意します。

6.2. 補題：μ の下界と試験関数

補題 6.3（閉多様体上の Sobolev 不等式）✓

$(M,g)$ を向き付けられた閉 $n$ 次元 Riemann 多様体（$n\ge3$）とし、$q=\frac{2n}{n-2}$ と置く。定数 $C_S=C_S(M,g)$ があって、すべての滑らかな関数 $v$ について

$$\Bigl(\int_M|v|^q\,dV\Bigr)^{2/q}\le C_S\Bigl(\int_M|\nabla v|^2\,dV+\int_Mv^2\,dV\Bigr).$$

証明（補題 6.3）

各点 $p$ のまわりに、線形な座標変換で $g_{ij}(p)=\delta_{ij}$ としたチャートを取ると、連続性から $p$ の近傍で $\frac12|\xi|^2\le g_{ij}\xi^i\xi^j\le2|\xi|^2$ です。$M$ はコンパクトなので、このような座標近傍 $(U_a,x_a)$（$a=1,\dots,N$）で $M$ を覆い、従属する $1$ の分割 $\chi_a$ を取れます（定理 6.3［部分多様体と正則値定理］。コンパクト性と局所有限性から有限個の関数で足ります）。$G=\max_a\max_M|\nabla\chi_a|$ と置きます。各 $U_a$ の上で、$g$ の固有値が $[\frac12,2]$ に入ることから $2^{-n/2}dx\le dV\le2^{n/2}dx$、また関数 $\phi$ の Euclid の勾配 $\nabla_0\phi$ について $|\nabla\phi|^2=g^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi\ge\frac12|\nabla_0\phi|^2$ です。

$v$ を滑らかな関数とすると、$\chi_av$ は $U_a$ にコンパクトな台を持ち、座標で $\mathbb{R}^n$ 上の $C_c^\infty$ 級の関数と見なせます。Gagliardo–Nirenberg–Sobolev の不等式（定理 4.3［Sobolev 空間］、$p=2$）から

$$\|\chi_av\|_{L^q(dx)}\le\frac{2(n-1)}{n-2}\,\|\nabla_0(\chi_av)\|_{L^2(dx)}.$$

左辺は $2^{-n/(2q)}\|\chi_av\|_{L^q(dV)}$ 以上、右辺の $L^2$ ノルムは $\bigl(2\cdot2^{n/2}\int|\nabla(\chi_av)|^2dV\bigr)^{1/2}$ 以下で、$|\nabla(\chi_av)|\le|\nabla v|+G|v|$ です。$n$ だけで決まる定数 $c_n$ を使って

$$\|\chi_av\|_{L^q(dV)}\le c_n\bigl(\|\nabla v\|_{L^2(dV)}+G\|v\|_{L^2(dV)}\bigr).$$

$v=\sum_a\chi_av$ に三角不等式を使うと $\|v\|_{L^q}\le Nc_n(1+G)(\|\nabla v\|_{L^2}+\|v\|_{L^2})$ で、両辺を 2 乗して $(\alpha+\beta)^2\le2\alpha^2+2\beta^2$ を使えば、$C_S=2N^2c_n^2(1+G)^2$ で主張を得ます。

∎

補題 6.4（μ の下界）✓

$(M,g)$ を向き付けられた閉 $n$ 次元 Riemann 多様体（$n\ge3$）、$C_S$ を 補題 6.3 の定数、$R_{\min}=\min_MR$ とする。すべての $\tau\gt0$ について

$$\mu(g,\tau)\ge\tau\,(R_{\min}-4)-\frac n2\log\Bigl(\frac{\pi e\,n\,C_S}{2}\Bigr).$$

とくに任意の $T_0\gt0$ について $\inf_{0\lt\tau\le T_0}\mu(g,\tau)\gt-\infty$。

証明（補題 6.4）

$f$ を $\int u\,dV=1$ を満たす滑らかな関数とし、$v=(4\pi\tau)^{-n/4}e^{-f/2}$ と置きます。$v\gt0$、$\int v^2dV=1$、$f=-\log v^2-\frac n2\log(4\pi\tau)$ なので

$$\mathcal{W}(g,f,\tau)=\int_M\bigl[\tau\bigl(4|\nabla v|^2+Rv^2\bigr)-v^2\log v^2\bigr]dV-\frac n2\log(4\pi\tau)-n .$$

エントロピーの項。 $q=\frac{2n}{n-2}$ とします。$v^2dV$ は確率測度で、$\log$ は凹なので、Jensen の不等式（定理 4.4［凸解析］ (2) を凸関数 $-\log$ と確率変数 $v^{q-2}$ に使う）から

$$\int_Mv^2\log v^2\,dV=\frac{2}{q-2}\int_M\log\bigl(v^{q-2}\bigr)\,v^2dV\le\frac{2}{q-2}\log\int_Mv^q\,dV=\frac{q}{q-2}\log\Bigl(\int_Mv^q\,dV\Bigr)^{2/q}.$$

$\frac{q}{q-2}=\frac n2$ です。補題 6.3 と $\int v^2=1$ から、$X=\int|\nabla v|^2dV+1$ と置いて

$$\int_Mv^2\log v^2\,dV\le\frac n2\log(C_SX).$$

対数を 1 次式で抑える。 $\log y\le y-1$ を $y=X/b$（$b\gt0$）に使うと $\log X\le X/b-1+\log b$ です。$b=\frac{n}{8\tau}$ と取ると

$$\frac n2\log X\le4\tau X-\frac n2+\frac n2\log\frac{n}{8\tau}.$$

まとめ。 $\int Rv^2dV\ge R_{\min}$ と合わせて

$$\mathcal{W}\ge4\tau(X-1)+\tau R_{\min}-\frac n2\log C_S-4\tau X+\frac n2-\frac n2\log\frac{n}{8\tau}-\frac n2\log(4\pi\tau)-n .$$

$\log\frac{n}{8\tau}+\log(4\pi\tau)=\log\frac{n\pi}{2}$ で $\tau$ の対数が打ち消し合い、右辺は $\tau(R_{\min}-4)-\frac n2\bigl(\log C_S+1+\log\frac{n\pi}{2}\bigr)$ です。$f$ について下限を取ります。

∎

$\tau\to0$ でも下界が発散しないことが要点です。小さいスケールでは多様体は Euclid 空間に近く、そこでは 命題 5.4 により $\mathcal{W}\ge0$ だからです。$n=2$ の場合は Sobolev の指数を取り替えれば同じ議論ができますが、ここでは使わないので省きます。

補題 6.5（非負の試験関数）✓

$(M,g)$ を向き付けられた閉 $n$ 次元 Riemann 多様体、$\tau\gt0$ とする。$w\ge0$ が滑らかな関数で $(4\pi\tau)^{-n/2}\int_Mw^2dV=1$ を満たすならば、$\mu(g,\tau)\le\widetilde{\mathcal{W}}(g,w,\tau)$。

証明（補題 6.5）

$\varepsilon\gt0$ に対し $w_\varepsilon=c_\varepsilon\sqrt{w^2+\varepsilon^2}$ と置き、定数 $c_\varepsilon\gt0$ を $(4\pi\tau)^{-n/2}\int w_\varepsilon^2dV=1$ となるように決めます。$c_\varepsilon^{-2}=1+\varepsilon^2(4\pi\tau)^{-n/2}\operatorname{vol}(M)$ なので $\varepsilon\to0$ で $c_\varepsilon\to1$ です。$w_\varepsilon$ は正で滑らかなので $f_\varepsilon=-2\log w_\varepsilon$ は $\mu$ の定義の条件を満たし、$\mu(g,\tau)\le\widetilde{\mathcal{W}}(g,w_\varepsilon,\tau)$ です。$\nabla w_\varepsilon=c_\varepsilon w\nabla w/\sqrt{w^2+\varepsilon^2}$ から $|\nabla w_\varepsilon|\le c_\varepsilon|\nabla w|$ で、$\int|\nabla w_\varepsilon|^2\le c_\varepsilon^2\int|\nabla w|^2$ です。$w_\varepsilon\to w$ は一様収束で、$y\mapsto y^2$ と $y\mapsto y^2\log y^2$ は $[0,\infty)$ 上で連続なので、$\int Rw_\varepsilon^2$、$\int w_\varepsilon^2\log w_\varepsilon^2$、$\int w_\varepsilon^2$ は $w$ のものに収束します。よって $\limsup_{\varepsilon\to0}\widetilde{\mathcal{W}}(g,w_\varepsilon,\tau)\le\widetilde{\mathcal{W}}(g,w,\tau)$ です。

∎

補題 6.6（距離関数の滑らかな近似）✓

$(M,g)$ を連結な閉 Riemann 多様体、$x\in M$、$\eta\gt0$ とする。滑らかな関数 $\tilde d\colon M\to\mathbb{R}$ で、すべての $y\in M$ について

$$|\tilde d(y)-d(x,y)|\le\eta,\qquad |\nabla\tilde d|(y)\le3$$

を満たすものが存在する。

証明（補題 6.6）

$d_x=d(x,\cdot)$ と書きます。三角不等式から $|d_x(y)-d_x(z)|\le d(y,z)$ です。補題 6.3 の証明と同じく、座標近傍 $(U_a,x_a)$ で、$x_a(U_a)$ が開球 $B(0,2\rho_a)\subset\mathbb{R}^n$ で、その上で $\frac12|\xi|^2\le g_{ij}\xi^i\xi^j\le2|\xi|^2$ となるものを取り、$V_a=x_a^{-1}(B(0,\rho_a))$（$a=1,\dots,N$）が $M$ を覆うようにします。$\{V_a\}$ に従属する $1$ の分割 $\chi_a$ を取り、$G=\max_a\max|\nabla\chi_a|$ と置きます。

$h_a=d_x\circ x_a^{-1}$ は $B(0,2\rho_a)$ 上の関数です。2 点 $y,z$ を結ぶ線分の $g$ での長さは $\sqrt2|y-z|$ 以下なので、$|h_a(y)-h_a(z)|\le\sqrt2|y-z|$ です。$\varrho_\delta$ を台が $B(0,\delta)$ に入る非負で積分 $1$ の滑らかな関数とし、$0\lt\delta\lt\min_a\rho_a$ について $h_{a,\delta}=\varrho_\delta*h_a$ を $B(0,\rho_a)$ 上で定めます。$h_{a,\delta}$ は滑らかで、

$$|h_{a,\delta}(y)-h_a(y)|\le\int\varrho_\delta(z)\,|h_a(y-z)-h_a(y)|\,dz\le\sqrt2\,\delta,\qquad |h_{a,\delta}(y)-h_{a,\delta}(y')|\le\sqrt2\,|y-y'|$$

です。後者から Euclid の勾配は $|\nabla_0h_{a,\delta}|\le\sqrt2$ で、$g^{ij}$ の固有値は $2$ 以下なので、$d_a=h_{a,\delta}\circ x_a$ は $V_a$ 上で $|\nabla d_a|^2\le2|\nabla_0h_{a,\delta}|^2\le4$、すなわち $|\nabla d_a|\le2$ と $|d_a-d_x|\le\sqrt2\delta$ を満たします。

$\tilde d=\sum_a\chi_ad_a$ と置きます。$\sum_a\chi_a=1$ から $\tilde d-d_x=\sum_a\chi_a(d_a-d_x)$ で $|\tilde d-d_x|\le\sqrt2\delta$ です。また $\sum_a\nabla\chi_a=0$ なので

$$\nabla\tilde d=\sum_a\chi_a\nabla d_a+\sum_a(d_a-d_x)\nabla\chi_a,\qquad |\nabla\tilde d|\le2+NG\sqrt2\,\delta .$$

$\delta$ を $\sqrt2\delta\le\eta$ かつ $NG\sqrt2\delta\le1$ となるように取ればよいです。

∎

補題 6.7（小さな球の体積）✓

$(M,g)$ を $n$ 次元 Riemann 多様体、$x\in M$ とする。$\liminf_{\rho\to0}\rho^{-n}\operatorname{vol}B(x,\rho)\gt0$。

証明（補題 6.7）

$\exp_x$ が $B_\varepsilon(0)\subset T_xM$ 上で像への微分同相になる $\varepsilon\gt0$ を取ります（命題 2.4［測地線と完備性］ 3）。$T_xM$ の正規直交基底による座標 $y$ で、$0\lt\rho\le\varepsilon/2$ について距離球 $B(x,\rho)$ は座標の球 $\{|y|\lt\rho\}$ に一致します（命題 4.3［測地線と完備性］）。$\sqrt{\det(g_{ij}(y))}$ はコンパクト集合 $\{|y|\le\varepsilon/2\}$ 上で正の連続関数なので最小値 $c\gt0$ を持ち、$\operatorname{vol}B(x,\rho)=\int_{|y|\lt\rho}\sqrt{\det g}\,dy\ge c\,\omega_n\rho^n$ です（$\omega_n$ は単位球の体積）。

∎

6.3. 定理の証明

証明は背理法です。ある球の体積が $\kappa r^n$ より小さいと仮定し、その球に台を持つ試験関数を $\mathcal{W}$ に入れて、$\mu$ の下界 $\mu_0$ より小さい値を作って矛盾を導きます。試験関数の勾配は球の半径で割った大きさになり、その項を体積の比 $V(r')/V(r'/2)$ で抑える必要があります。そこで、この比が $3^n$ 以下になる半径 $r'$ に取り替えるのが「倍化条件」の段落です。定数 $3600$ は、勾配の評価 $|\nabla w|\le30a/r'$ の 2 乗に $4$ を掛けた $4\cdot30^2$ です。

証明（定理 6.2）

$M$ が連結でなければ成分ごとに考えればよいので、連結とします。

$\mu$ の下界。 補題 6.4 を $g(0)$ と $T_0=2T$ に使い、

$$\mu_0:=\inf_{0\lt\tau\le2T}\mu(g(0),\tau)\gt-\infty$$

と置きます。$\mu_0$ は $g(0)$ と $T$ だけで決まります。$t\in[0,T)$、$0\lt r'\le\sqrt T$ とすると、命題 5.3 を区間 $[0,t]$、$\tau_2=r'^2$ で使って（$\tau(0)=r'^2+t\le2T$）

$$\mu\bigl(g(t),r'^2\bigr)\ge\mu\bigl(g(0),r'^2+t\bigr)\ge\mu_0 .$$

$\kappa$ の選び方。 $\kappa=(4\pi)^{n/2}\exp\bigl(\mu_0-3600\cdot3^n-n(n-2)\bigr)$ と置きます。ある $t$、$x$、$r\le\sqrt T$ について、$B(x,r)$ 上で $R\le n(n-1)r^{-2}$ かつ $\operatorname{vol}B(x,r)\lt\kappa r^n$ であると仮定して矛盾を導きます。以下、球・体積・距離は $g(t)$ のもので、$V(\rho)=\operatorname{vol}B(x,\rho)$ と書きます。

倍化条件を満たす半径への取り替え。 $r_k=2^{-k}r$ と置きます。$V(r_k)\le3^nV(r_{k+1})$ となる最小の $k\ge0$ が存在します。存在しなければ、すべての $k$ で $V(r_{k+1})\lt3^{-n}V(r_k)$ なので $V(r_k)/r_k^n\lt(2/3)^{nk}V(r)/r^n\to0$ となり、補題 6.7 に反するからです。この $k$ について $r'=r_k$ と置くと、$j\lt k$ では $V(r_{j+1})\lt3^{-n}V(r_j)$ なので

$$\frac{V(r')}{r'^n}\le\Bigl(\frac23\Bigr)^{nk}\frac{V(r)}{r^n}\lt\kappa,\qquad V(r')\le3^n\,V(r'/2),$$

また $B(x,r')\subset B(x,r)$ の上で $R\le n(n-1)r^{-2}\le n(n-1)r'^{-2}$ です。

試験関数。 補題 6.6 により、$|\tilde d-d(x,\cdot)|\le r'/8$、$|\nabla\tilde d|\le3$ を満たす滑らかな関数 $\tilde d$ を取ります。$\psi\colon\mathbb{R}\to[0,1]$ を、$(-\infty,\frac58]$ 上で $1$、$[\frac34,\infty)$ 上で $0$、$|\psi'|\le10$ を満たす滑らかな関数とし、$\tau=r'^2$、

$$w=a\,\psi\bigl(\tilde d/r'\bigr)$$

と置きます。定数 $a\gt0$ は $(4\pi\tau)^{-n/2}\int w^2dV=1$ となるように決めます。$w\ne0$ となる点では $\tilde d\lt\frac34r'$ なので $d(x,\cdot)\lt\frac78r'$ で、$w$ の台は $B(x,r')$ に入ります。$d(x,y)\lt\frac12r'$ なら $\tilde d(y)\le\frac58r'$ なので $B(x,r'/2)$ の上で $w=a$ です。したがって

$$a^2\,V(r'/2)\le(4\pi\tau)^{n/2}\le a^2\,V(r').$$

$\widetilde{\mathcal{W}}$ の評価。 $\widetilde{\mathcal{W}}(g(t),w,\tau)=(4\pi\tau)^{-n/2}\int[4\tau|\nabla w|^2+\tau Rw^2-w^2\log w^2-nw^2]dV$ の 4 項を順に評価します。

• $|\nabla w|\le a\cdot10\cdot3/r'$ なので $4\tau|\nabla w|^2\le3600a^2$ で、台は $B(x,r')$ に入るから、第 1 項は $3600\,a^2V(r')(4\pi\tau)^{-n/2}\le3600\,V(r')/V(r'/2)\le3600\cdot3^n$ 以下です。
• 台の上で $\tau R\le n(n-1)$ なので、第 2 項は $n(n-1)$ 以下です。
• $\Omega=\{w\gt0\}$ の上の確率測度 $d\nu=(4\pi\tau)^{-n/2}w^2dV$ について、Jensen の不等式（定理 4.4［凸解析］ (2)）から $$-\int_\Omega\log(w^2)\,d\nu=\int_\Omega\log(w^{-2})\,d\nu\le\log\int_\Omega w^{-2}\,d\nu=\log\bigl((4\pi\tau)^{-n/2}\operatorname{vol}(\Omega)\bigr)\le\log\frac{V(r')}{(4\pi)^{n/2}r'^n}.$$ 第 3 項はこの左辺です。
• 第 4 項は $-n$ です。

合わせて、$V(r')\lt\kappa r'^n$ を使うと

$$\widetilde{\mathcal{W}}(g(t),w,\tau)\lt3600\cdot3^n+n(n-1)-n+\log\kappa-\frac n2\log(4\pi)=\mu_0$$

です（最後の等号は $\kappa$ の定義）。補題 6.5 から $\mu(g(t),r'^2)\le\widetilde{\mathcal{W}}(g(t),w,\tau)\lt\mu_0$ となり、最初に示した $\mu(g(t),r'^2)\ge\mu_0$ に反します。

∎

証明の構造は論文 4.1 節のとおりです。そこでは「崩壊する球の列について $\mu(g(t_k),r_k^2)\to-\infty$」と述べ、試験関数を $f_k=-\log\phi(\operatorname{dist}/r_k)+c_k$ と置いています。上の証明は、(a) $\tau\to0$ まで一様な $\mu$ の下界（補題 6.4）、(b) 勾配の項を抑えるための倍化条件への取り替え、(c) 距離関数の滑らかな近似、を補って定数を追ったものです。(b) の取り替えは Kleiner–Lott の注釈と Topping の講義録にある議論です。崩壊した球では、正規化の定数 $a^2\approx(4\pi\tau)^{n/2}/V$ が大きくなり、$-w^2\log w^2$ の項が $\log(V/r^n)$ として $-\infty$ に向かいます。体積が小さいと、重み $u$ を狭い所に集めざるをえず、エントロピーが下がるということです。

例 6.8（葉巻ソリトン × ℝ はすべてのスケールでは非崩壊でない）

葉巻ソリトン $\Sigma=(\mathbb{R}^2,ds^2+\tanh^2s\,d\theta^2)$（第 4 章の 命題 3.9［ポアンカレ予想 I］）と直線の積 $\Sigma\times\mathbb{R}$ を考えます。Gauss 曲率は $K=\frac R2=2/\cosh^2s$ です。積計量の曲率は因子ごとに分かれ（第 4 章の 命題 3.5［ポアンカレ予想 I］ の証明）、断面曲率は $0$ と $K$ の間にあります。

$r\gt0$ とし、点 $x_0=(s_0,\theta_0,z_0)$ を $s_0\ge2r$ に取ります。$B(x_0,r)$ の上では $s\gt r$ で、$\cosh r\ge1+\frac{r^2}{2}\ge\sqrt2\,r$ から $K\le2/\cosh^2r\le r^{-2}$ なので、曲率の条件は満たされます。一方、積計量での距離は $|s-s_0|$ と $|z-z_0|$ のどちらよりも小さくならないので $B(x_0,r)\subset\{|s-s_0|\lt r\}\times S^1\times\{|z-z_0|\lt r\}$ で、体積要素 $\tanh s\,ds\,d\theta\,dz\le ds\,d\theta\,dz$ から

$$\operatorname{vol}B(x_0,r)\le2r\cdot2\pi\cdot2r=8\pi r^2,\qquad \frac{\operatorname{vol}B(x_0,r)}{r^3}\le\frac{8\pi}{r}\xrightarrow[r\to\infty]{}0 .$$

どんな $\kappa\gt0$ についても、すべてのスケールでは $\kappa$-非崩壊ではありません。$\Sigma\times\mathbb{R}$ は非負曲率の定常ソリトンで、Hamilton–Ivey の評価（第 4 章）とは矛盾しないため、Perelman 以前は $3$ 次元の特異点模型の候補として残っていました。定理 6.2 により、有限時間の特異点での拡大極限はすべてのスケールで $\kappa$-非崩壊なので（次節）、この模型は現れません。論文 4.2 節の系がこの結論です。

7. 論文の §7 以降：簡約体積・κ-解・標準近傍

ここからは証明を付けず、定義と主張を論文の節番号と対応づけて述べます。第 6 章で手術を定義するのに必要な範囲です。

7.1. L 長さと簡約体積（論文 §7）

$\mathcal{W}$ は多様体全体の積分なので、非コンパクトな極限や手術のある状況では使いにくい量です。Perelman は §7 で、1 点を基点とする局所的な単調量を導入しました。Riemann 幾何で、測地線の長さから距離を作り、指数写像の Jacobi 行列式の比較から体積比の単調性（Bishop–Gromov）を導くのと同じ構成を、時空の中の曲線について行います。

定義 7.1（L 長さ・簡約距離・簡約体積）↗

$g(t)$（$t\in[0,T]$）を $n$ 次元多様体 $M$ 上の Ricci flow の解、$p\in M$、$t_0\in(0,T]$ とし、逆向きの時間 $\tau=t_0-t$ を使う。$\bar\tau\in(0,t_0]$ と、区分的に滑らかな曲線 $\beta\colon[0,2\sqrt{\bar\tau}]\to M$ に対し、$\gamma(\tau)=\beta(2\sqrt\tau)$ の $\mathcal{L}$ 長さを

$$\mathcal{L}(\gamma)=\int_0^{\bar\tau}\sqrt\tau\,\bigl(R(\gamma(\tau),t_0-\tau)+|\dot\gamma(\tau)|^2_{g(t_0-\tau)}\bigr)\,d\tau=\int_0^{2\sqrt{\bar\tau}}\Bigl(|\beta'(s)|^2+\frac{s^2}{4}R(\beta(s))\Bigr)ds$$

と定める（右辺の計量と $R$ は時刻 $t_0-s^2/4$ のもの。2 つの表示は変数変換 $s=2\sqrt\tau$ で移り合う）。$\gamma(0)=p$、$\gamma(\bar\tau)=q$ となる曲線についての下限を $L(q,\bar\tau)$ とし、

$$l(q,\bar\tau)=\frac{L(q,\bar\tau)}{2\sqrt{\bar\tau}},\qquad \tilde V(\bar\tau)=\int_M(4\pi\bar\tau)^{-n/2}e^{-l(q,\bar\tau)}\,dV_{g(t_0-\bar\tau)}(q)$$

を簡約距離、簡約体積という。

論文 7.1 節の定義です。変数変換は、$\tau=s^2/4$、$d\tau=\frac s2ds$、$\dot\gamma=\beta'(s)/\sqrt\tau$ から $\sqrt\tau|\dot\gamma|^2d\tau=|\beta'|^2ds$、$\sqrt\tau R\,d\tau=\frac{s^2}{4}R\,ds$ となることによります。論文は簡約体積を $\int\tau^{-n/2}e^{-l}dq$ と定義しており、ここでの $\tilde V$ の $(4\pi)^{n/2}$ 倍です。Kleiner–Lott、Morgan–Tian の正規化に合わせました。

命題 7.2（ℝⁿ の簡約体積）✓

$M=\mathbb{R}^n$、$g(t)$ をすべての $t$ で標準の平坦な計量（Ricci flow の定常な解）とする。任意の $p$、$t_0$、$\bar\tau\gt0$ について

$$L(q,\bar\tau)=\frac{|q-p|^2}{2\sqrt{\bar\tau}},\qquad l(q,\bar\tau)=\frac{|q-p|^2}{4\bar\tau},\qquad \tilde V(\bar\tau)=1 .$$

証明（命題 7.2）

$R=0$ なので $\mathcal{L}(\gamma)=\int_0^{2\sqrt{\bar\tau}}|\beta'(s)|^2ds$ です。$\beta(0)=p$、$\beta(2\sqrt{\bar\tau})=q$ とすると、Cauchy–Schwarz の不等式から

$$|q-p|^2\le\Bigl(\int_0^{2\sqrt{\bar\tau}}|\beta'(s)|\,ds\Bigr)^2\le2\sqrt{\bar\tau}\int_0^{2\sqrt{\bar\tau}}|\beta'(s)|^2ds,$$

よって $\mathcal{L}(\gamma)\ge|q-p|^2/(2\sqrt{\bar\tau})$ です。等号は $\beta(s)=p+\frac{s}{2\sqrt{\bar\tau}}(q-p)$ で成り立つので、これが $L(q,\bar\tau)$ です。$l=L/(2\sqrt{\bar\tau})=|q-p|^2/(4\bar\tau)$ で、Gauss 積分 $\int_{\mathbb{R}^n}e^{-|q-p|^2/(4\bar\tau)}dq=(4\pi\bar\tau)^{n/2}$ から $\tilde V(\bar\tau)=1$ です。

∎

$\mathbb{R}^n$ では簡約距離は Gauss ソリトンのポテンシャル $|x|^2/4\tau$（命題 5.4 の等号の場合）に一致します。$\mathcal{L}$ 長さを最小にする曲線は $s=2\sqrt\tau$ について等速の直線で、$\tau$ については $\tau=0$ で速度が発散します。

定理 7.3（簡約体積の単調性（Perelman））※

定義 7.1 の状況で、$M$ は閉多様体であるか、各 $g(t)$ が完備で曲率が $M\times[0,T]$ 上で有界であるとする。このとき、各 $\bar\tau\in(0,t_0]$ について $l(\cdot,\bar\tau)$ は局所 Lipschitz 連続な関数で、$\tilde V(\bar\tau)$ は $\bar\tau$ について非増加であり、$\lim_{\bar\tau\to0}\tilde V(\bar\tau)=1$ である。とくに $\tilde V\le1$。さらに、$\tau_1\lt\tau_2$ で $\tilde V(\tau_1)=\tilde V(\tau_2)$ ならば、$g(t)$ は $t_0-\tau_2\le t\le t_0-\tau_1$ で縮小勾配ソリトンである。

注意 7.4（主張のみ：理由と出典）

この定理は主張のみとし、証明を付けません。論文 7.1 節の内容で、$\mathcal{L}$ の第一変分から $\mathcal{L}$ 測地線の方程式を導き、第二変分と Hamilton の Harnack 式を組み合わせて $\mathcal{L}$ 指数写像の Jacobi 行列式の比較（論文の式 (7.12)）を示し、それを積分します。Riemann 幾何の第二変分公式（定理 6.3［測地線と完備性］）と指数写像（命題 2.4［測地線と完備性］）の議論を、時間に依る計量と重み $\sqrt\tau$ つきで繰り返すことになり、さらに $\mathcal{L}$ 切断跡の扱いと $l$ の微分可能性の正当化が要ります。Kleiner–Lott の注釈、Morgan–Tian の本に完全な証明があり、どちらでも長い章になっています。Perelman は 7.3 節でこの単調性から非崩壊定理の弱い形の別証明を与え、§8（8.2 節の定理、非崩壊定理 II）で局所的な仮定だけを使う形に強めています。手術のある流れで非崩壊を保つ議論（第 2 論文の Lemma 5.2）で使われるのはこちらです。

7.2. 微分 Harnack 不等式（論文 §9）

定理 7.5（共役熱方程式の解に対する微分 Harnack 不等式（Perelman））※

$g(t)$（$0\le t\le T$）を閉 $n$ 次元多様体 $M$ 上の Ricci flow の解、$u=(4\pi(T-t))^{-n/2}e^{-f}$ を $M\times[0,T)$ 上の共役熱方程式 $\Box^*u=0$ の正の解とし、

$$v=\bigl[(T-t)\bigl(2\Delta f-|\nabla f|^2+R\bigr)+f-n\bigr]u$$

と置く。

1. $\Box^*v=-2(T-t)\Bigl|\operatorname{Ric}+\nabla^2f-\dfrac{g}{2(T-t)}\Bigr|^2u$。
2. $u$ が $t\uparrow T$ で 1 点 $p$ の $\delta$ 関数に収束する解（共役熱方程式の基本解）ならば、$M\times[0,T)$ 上で $v\le0$。

注意 7.6（主張のみ：理由と出典）

この定理は主張のみとし、証明を付けません。(1) は論文の Proposition 9.1（式 (9.1)）で、論文では “Routine computation” とだけ書かれています。定理 5.2 と同じ種類の計算ですが、積分せずに各点で行うので $\nabla^2f$ の発展方程式まで要り、長くなります。(2) は Corollary 9.3 で、基本解の $t\uparrow T$ での漸近挙動の評価が要ります。$\int_Mv\,dV=\mathcal{W}(g,f,T-t)$ なので（$\int(2\Delta f-|\nabla f|^2)u=\int|\nabla f|^2u$ による）、(1) を積分すると 命題 2.3 から 定理 5.2 が再び得られます。(1) はその局所版です。熱方程式の正の解に対する Li–Yau の勾配評価にあたるものです。Corollary 9.5 では (2) から $f\le l$（基本解のポテンシャルは簡約距離以下）が導かれます。§10 の擬局所性定理の証明は、(2) の非正の関数 $v$ を使います。証明は Kleiner–Lott の注釈にあります。

7.3. 拡大極限と κ-解（論文 §4 の系、§11）

特異時刻 $T$ に近づく点列 $(x_k,t_k)$ で $Q_k=|\operatorname{Rm}|(x_k,t_k)\to\infty$ となるものを取り、計量を $Q_k$ 倍、時間を $Q_k$ 倍に拡大した解

$$g_k(s)=Q_k\,g\bigl(t_k+s/Q_k\bigr),\qquad -Q_kt_k\le s\le0$$

を考えます。$g_k$ も Ricci flow の解で、$(x_k,0)$ での曲率は $1$ です。この列の極限が取れれば、特異点の近くの形が分かります。

定理 7.7（Hamilton のコンパクト性定理と単射半径の評価）※

1. （Hamilton）$(M_k,g_k(s),x_k)$（$s\in(a,b)$、$a\lt0\lt b$）を完備な $n$ 次元の Ricci flow の解と基点の列とし、定数 $C,\iota\gt0$ があって、すべての $k$ で $M_k\times(a,b)$ 上 $|\operatorname{Rm}(g_k)|\le C$、かつ $g_k(0)$ の $x_k$ での単射半径が $\iota$ 以上であるとする。このとき部分列を取ると、完備な Ricci flow の解 $(M_\infty,g_\infty(s),x_\infty)$（$s\in(a,b)$）と、$M_\infty$ を尽くす開集合の増大列 $U_k\ni x_\infty$、$x_\infty$ を $x_k$ に写す像への微分同相 $\Phi_k\colon U_k\to M_k$ があって、$\Phi_k^*g_k$ が $M_\infty\times(a,b)$ のコンパクト集合上ですべての階数の導関数まで込めて $g_\infty$ に一様収束する。
2. （Cheeger–Gromov–Taylor）$n$ と $\kappa\gt0$ だけで決まる $c\gt0$ があって、完備な $n$ 次元 Riemann 多様体の距離球 $B(x,r)$ の上で断面曲率の絶対値が $r^{-2}$ 以下、かつ $\operatorname{vol}B(x,r)\ge\kappa r^n$ ならば、$x$ での単射半径は $c\,r$ 以上である。

注意 7.8（主張のみ：理由と出典）

この定理は主張のみとし、証明を付けません。(1) は R. S. Hamilton, “A compactness property for solutions of the Ricci flow”, Amer. J. Math. 117 (1995), 545–572 の定理で、Riemann 多様体の列に対する Cheeger–Gromov のコンパクト性定理と、曲率の導関数の評価（Shi の評価）によります。(2) は J. Cheeger, M. Gromov, M. Taylor の 1982 年の論文（J. Differential Geom. 17）の評価です。どちらも比較幾何の準備が長く、Rikai にはまだありません。解説は Topping『Lectures on the Ricci Flow』第 7 章にあります。

非崩壊定理の使われ方。特異点の近くで拡大した列の極限を取るには、曲率の有界性と単射半径の下界が要る。後者を与えるのが非崩壊定理で、Perelman 以前はここが欠けていた。

論文 4.2 節の系は次のことを述べています。閉多様体上の Ricci flow が $T\lt\infty$ で特異になり、点列 $(x_k,t_k)$ について $Q_k=|\operatorname{Rm}|(x_k,t_k)\to\infty$ かつ $t\lt t_k$ で $|\operatorname{Rm}|\le CQ_k$ ならば、$Q_k$ 倍に拡大した解の部分列は、完備な古代解（$-\infty\lt s\le0$ で定義された解）に収束し、極限はある $\kappa\gt0$ についてすべてのスケールで $\kappa$-非崩壊です。拡大すると非崩壊のスケール $\sqrt T$ が $\sqrt{Q_kT}\to\infty$ に伸びるので、極限ではすべてのスケールになります（$\kappa$-非崩壊の条件は相似拡大で不変）。$3$ 次元では第 4 章の 定理 7.3［ポアンカレ予想 I］ により極限の曲率は非負です。

定義 7.9（κ-解）↗

$\kappa\gt0$ とする。向き付けられた $3$ 次元多様体 $M$ 上の Ricci flow の解 $g(t)$（$-\infty\lt t\le0$）が古代 $\kappa$-解（$\kappa$-解）であるとは、各 $t$ で $g(t)$ が完備で平坦でなく、断面曲率が非負かつ有界で、すべてのスケールで $\kappa$-非崩壊であることをいう。

論文 11.1 節の設定を $3$ 次元について述べたもので、名前は第 2 論文 1.1 節で付けられています（一般次元の 11.1 節では「曲率作用素が非負」を仮定します）。例は、縮む丸い球面とその商、縮む丸い円柱 $S^2\times\mathbb{R}$（第 4 章の 命題 3.5［ポアンカレ予想 I］ (3) を $t\to-\infty$ まで延ばしたもの）、回転対称な定常ソリトンである Bryant ソリトンです。葉巻ソリトン $\times\,\mathbb{R}$ は 例 6.8 により $\kappa$-解ではありません。

次の定理の「漸近ソリトン」は、$\tau\to\infty$、つまり十分遠い過去から見たとき、$\kappa$-解がどんな縮小勾配ソリトンに近づくかを指します。簡約距離は、その見る場所を選ぶために使います。

定理 7.10（3 次元の κ-解の構造（Perelman））※

$g(t)$ を $3$ 次元の古代 $\kappa$-解とする。

1. （漸近ソリトン）基点 $(p,t_0)$ についての簡約距離 $l$ に対し $l(q(\tau),\tau)\le\frac32$ となる点 $q(\tau)$ を取ると、$g(t_0-\tau)$ を $q(\tau)$ のまわりで $\tau^{-1}$ 倍に拡大した解は、$\tau\to\infty$ の部分列で、平坦でない縮小勾配ソリトンに収束する。
2. （漸近ソリトンの分類）(1) の極限は、丸い $S^3$ の商、丸い円柱 $S^2\times\mathbb{R}$、または円柱の $\mathbb{Z}/2$ による商のいずれかである。
3. （コンパクト性）$\kappa$ を固定したとき、$\kappa$-解の全体は相似拡大を法としてコンパクトである。すなわち、$\kappa$-解の列と $R(x_k,0)=1$ となる基点の列から、定理 7.7 (1) の意味で収束する部分列が取れ、極限も $\kappa$-解である。
4. （普遍的な定数と局所的な形）普遍定数 $\kappa_0\gt0$、$\eta$ があって、すべての $\kappa$-解は、$\kappa_0$-解であるか丸い球面の商であり、各点で $|\nabla R|\lt\eta R^{3/2}$、$|\partial_tR|\lt\eta R^2$ を満たす。十分小さい $\varepsilon\gt0$ に対し定数 $C_1(\varepsilon),C_2(\varepsilon)$ があって、$\kappa$-解の各点 $(x,t)$ は、ある半径 $r\lt C_1R(x,t)^{-1/2}$ について $B(x,t,r)\subset B\subset B(x,t,2r)$ となる近傍 $B$ で、(a) 強い $\varepsilon$-首、(b) $\varepsilon$-帽子、(c) $S^3$ または $\mathbb{R}P^3$ に微分同相な閉多様体、(d) 断面曲率が正の定数の閉多様体、のいずれかであるものを持つ。$B$ の上でスカラー曲率は $C_2^{-1}R(x,t)$ と $C_2R(x,t)$ の間にある。

注意 7.11（主張のみ：理由と出典）

この定理は主張のみとし、証明を付けません。(1) は第 1 論文の Proposition 11.2 で、定理 7.3 の等号の場合を使います。(2) は第 2 論文の 1.1 節と Lemma 1.2（非コンパクトで正曲率の $\kappa$-非崩壊な縮小勾配ソリトンは存在しない）によります。(3) は第 1 論文の Theorem 11.7 で、非コンパクトという仮定が不要であることは第 2 論文 1.1 節で注意されています。(4) は第 2 論文の 1.5 節のまとめで、$\kappa_0$ の存在は第 1 論文 11.9 節で予告されていました。証明には Hamilton の Harnack 不等式、Toponogov の分裂定理、$2$ 次元の古代解の分類（第 1 論文 11.3 節）、漸近体積比が $0$ であること（同 11.4 節）が使われ、Kleiner–Lott の注釈と Morgan–Tian の本で、それぞれ長い章を占めます。「強い $\varepsilon$-首」「$\varepsilon$-帽子」の定義は次の節に置きます。

7.4. 標準近傍定理（論文 §12）

定義 7.12（ε-首・強い ε-首・ε-帽子）↗

$\varepsilon\gt0$ とする。$B(x,t,\rho)$ で時刻 $t$ の計量での半径 $\rho$ の開距離球を表す。

1. 距離球 $B(x,t,\varepsilon^{-1}r)$ が $\varepsilon$-首であるとは、計量を $r^{-2}$ 倍すると、標準的な首 $S^2\times I$（$S^2$ はスカラー曲率 $1$ の丸い球面、$I$ は長さ $2\varepsilon^{-1}$ の区間、積計量）に $\varepsilon$-近いことをいう。$\varepsilon$-近いとは、微分同相で引き戻した計量の差が、$N\gt\varepsilon^{-1}$ 階までの導関数を込めて $\varepsilon$ 未満であることをいう。
2. 時空の領域 $\{(x',t'):x'\in B(x,t,\varepsilon^{-1}r),\ t-r^2\le t'\le t\}$ が強い $\varepsilon$-首であるとは、計量を $r^{-2}$ 倍、時間を $r^{-2}$ 倍すると、縮む標準的な首（時刻 $t'\in[-1,0]$ でスカラー曲率が $(1-t')^{-1}$ の円柱の流れ）に $\varepsilon$-近いことをいう。
3. $3$ 次元球体 $B^3$ または $\mathbb{R}P^3\setminus\bar B^3$ の上の計量が $\varepsilon$-帽子であるとは、あるコンパクト集合の外の各点が $\varepsilon$-首に含まれ、スカラー曲率が端で有界であることをいう。

第 2 論文の冒頭 “Notation and terminology” の定義です。$\varepsilon$-首の中心を通る $S^2$ が、第 6 章で手術のときに切る球面です。

定理 7.13（標準近傍定理（Perelman））※

十分小さい $\varepsilon\gt0$、$\kappa\gt0$、無限遠で $0$ に減少する関数 $\phi$ に対し、$r_0\gt0$ があって次が成り立つ。$g(t)$（$0\le t\le T$）を向き付けられた閉 $3$ 次元多様体 $M$ 上の Ricci flow の解で、すべての点で断面曲率が $-\phi(R)R$ 以上であり、スケール $r_0$ 未満で $\kappa$-非崩壊であるものとする。このとき、$t_0\ge1$ かつ $Q=R(x_0,t_0)\ge r_0^{-2}$ を満たす任意の点 $(x_0,t_0)$ について、

$$\bigl\{(x,t):\ d_{t_0}(x,x_0)^2\lt(\varepsilon Q)^{-1},\ t_0-(\varepsilon Q)^{-1}\le t\le t_0\bigr\}$$

の上の解は、$Q$ 倍に拡大すると、ある古代 $\kappa$-解の対応する部分に $\varepsilon$-近い。したがって 定理 7.10 (4) により、$x_0$ は時刻 $t_0$ で、$\varepsilon$-首、$\varepsilon$-帽子、正の断面曲率を持つ閉多様体のいずれかである近傍を持つ。

注意 7.14（主張のみ：理由と出典）

この定理は主張のみとし、証明を付けません。前半は第 1 論文の Theorem 12.1 の主張そのもので、後半の言い換えは第 2 論文 §3 の冒頭にあります。仮定の「$-\phi(R)R$ 以上」は Hamilton–Ivey の評価（第 4 章の 定理 7.3［ポアンカレ予想 I］）から、非崩壊は 定理 6.2 から従うので、閉 $3$ 次元多様体上の有限時間の滑らかな解は仮定を満たします。証明は背理法で、反例の列のうち曲率がほぼ最小の点を選んで拡大し、極限が $\kappa$-解になることを、2 つの主張（Claim 1、Claim 2）とそれに続く極限の構成で示します。途中で 定理 7.7、定理 7.10 (3)(4)、非負曲率の空間の比較幾何を使い、同じ型の議論が第 2 論文の §4〜§5 で手術つきの流れに対して繰り返されます。Kleiner–Lott の注釈と Morgan–Tian の本で詳しい証明が与えられています。

この定理により、曲率の大きいところでは計量の形が 3 種類に限られます。全体が正曲率の閉多様体なら、Hamilton の定理（第 4 章の 定理 7.1［ポアンカレ予想 I］）から球面空間形です。そうでなければ、曲率の大きい領域は首と帽子をつないだもので、位相的には $S^2\times$ 区間、$B^3$、$\mathbb{R}P^3\setminus\bar B^3$ を貼り合わせた形をしています。首で切って帽子を貼る手術が定義でき、切り捨てる部分の位相も分かることになります。これが 第 6 章 の出発点です。

8. 演習

演習 8.1標準

定理 3.3 の連立系の解 $(g(t),f(t))$ で $\int_Me^{-f}dV=1$ を満たすものについて、$\dfrac{d}{dt}\mathcal{F}\ge\dfrac2n\mathcal{F}^2$ を示せ。これから、$\mathcal{F}(t_1)\gt0$ ならば解は時刻 $t_1+\dfrac{n}{2\mathcal{F}(t_1)}$ 以降まで存在しえないことを導け。

解答

対称 $2$ テンソル $S$ について、演習 8.1［ポアンカレ予想 I］ と同じく $|S|^2\ge\frac1n(\operatorname{tr}S)^2$ です。$S=\operatorname{Ric}+\nabla^2f$ に使うと $\operatorname{tr}S=R+\Delta f$ で、定理 3.3 から

$$\frac{d}{dt}\mathcal{F}\ge\frac2n\int_M(R+\Delta f)^2e^{-f}dV\ge\frac2n\Bigl(\int_M(R+\Delta f)e^{-f}dV\Bigr)^2=\frac2n\mathcal{F}^2 .$$

2 番目の不等式は確率測度 $e^{-f}dV$ についての Cauchy–Schwarz、最後の等号は $\int\Delta fe^{-f}=\int|\nabla f|^2e^{-f}$ です。$\mathcal{F}(t_1)\gt0$ なら $\mathcal{F}$ は増加して正のままで、$\frac{d}{dt}(-1/\mathcal{F})\ge\frac2n$ から $1/\mathcal{F}(t)\le1/\mathcal{F}(t_1)-\frac2n(t-t_1)$ です。左辺は正なので $t\lt t_1+\frac{n}{2\mathcal{F}(t_1)}$ でなければなりません。論文の Proposition 1.2 がこの主張です。$f$ を定数に取れば $\mathcal{F}=\int R\,dV/\operatorname{vol}$ なので、第 4 章の 系 5.2［ポアンカレ予想 I］ (2) の積分版になっています。

演習 8.2標準

$(M,g,f)$ を連結な向き付けられた閉多様体上の定常勾配ソリトン $\operatorname{Ric}+\nabla^2f=0$ とする。$f$ は定数で $\operatorname{Ric}=0$ であることを、(a) 系 4.5 を使う方法、(b) 直接の計算、の 2 通りで示せ。

解答

(a) 第 4 章の 命題 3.7［ポアンカレ予想 I］ により、$g(t)=\theta_t^*g$（$\theta_t$ は $\operatorname{grad}f$ の流れ）は Ricci flow の解で、$g(1)=\theta_1^*g(0)$ なので定常 breather です。系 4.5 から $\operatorname{Ric}(g)=0$、したがって $\nabla^2f=0$ で、トレースを取って $\Delta f=0$、閉多様体上の調和関数なので $f$ は定数です。

(b) ソリトンの式の発散を取ります。縮約 Bianchi 恒等式と 補題 2.1 の第 1 式から

$$0=\nabla^i\bigl(R_{ij}+\nabla_i\nabla_jf\bigr)=\tfrac12\nabla_jR+\nabla_j\Delta f+R_{jl}\nabla^lf .$$

トレース $R+\Delta f=0$ から $\nabla_j\Delta f=-\nabla_jR$、ソリトンの式から $R_{jl}\nabla^lf=-\nabla_j\nabla_lf\,\nabla^lf=-\frac12\nabla_j|\nabla f|^2$ なので、$\nabla_j(R+|\nabla f|^2)=0$、すなわち $R+|\nabla f|^2=C$（定数）です。$R=-\Delta f$ を入れると $\Delta f-|\nabla f|^2=-C$ で、$e^{-f}$ を掛けて積分すると左辺は $0$ なので $C=0$ です。よって $\Delta e^{-f}=e^{-f}(|\nabla f|^2-\Delta f)=0$ で、$e^{-f}$ は定数、$f$ は定数、$\operatorname{Ric}=-\nabla^2f=0$ です。葉巻ソリトンのような自明でない定常ソリトンは、非コンパクトな多様体の上にしかありません。

演習 8.3標準

計量を固定した向き付けられた閉 Riemann 多様体 $(M,g)$ の上で、$u\gt0$ を熱方程式 $\partial_tu=\Delta u$ の解とし、$f=-\log u$、$N(t)=\int_Mu\log u\,dV$（Nash のエントロピー）、$I(t)=\int_M|\nabla f|^2u\,dV$（Fisher 情報量）と置く。次を示せ。

$$\frac{dN}{dt}=-I,\qquad \frac{dI}{dt}=-2\int_M\bigl(|\nabla^2f|^2+\operatorname{Ric}(\nabla f,\nabla f)\bigr)u\,dV .$$

解答

$\frac{dN}{dt}=\int(\log u+1)\Delta u\,dV=-\int\langle\nabla\log u,\nabla u\rangle dV=-\int|\nabla u|^2/u\,dV=-I$ です。次に、$\partial_tu=-u\partial_tf$、$\Delta u=u(|\nabla f|^2-\Delta f)$ から $\partial_tf=\Delta f-|\nabla f|^2$ です。補題 2.1 を使うと

$$(\partial_t-\Delta)|\nabla f|^2=2\langle\nabla f,\nabla(\Delta f-|\nabla f|^2)\rangle-2|\nabla^2f|^2-2\langle\nabla f,\nabla\Delta f\rangle-2\operatorname{Ric}(\nabla f,\nabla f),$$

すなわち $(\partial_t-\Delta)|\nabla f|^2=-2|\nabla^2f|^2-2\operatorname{Ric}(\nabla f,\nabla f)-2\langle\nabla f,\nabla|\nabla f|^2\rangle$ です。$\frac{dI}{dt}=\int(\partial_t|\nabla f|^2)u+\int|\nabla f|^2\Delta u$ で、$\int(\Delta|\nabla f|^2)u=\int|\nabla f|^2\Delta u$ なので

$$\frac{dI}{dt}=\int_M\bigl((\partial_t-\Delta)|\nabla f|^2\bigr)u\,dV+2\int_M|\nabla f|^2\Delta u\,dV .$$

$-2\int\langle\nabla f,\nabla|\nabla f|^2\rangle u=2\int\langle\nabla u,\nabla|\nabla f|^2\rangle=-2\int|\nabla f|^2\Delta u$ なので、この項が最後の項と打ち消し合い、主張の式を得ます。$\operatorname{Ric}\ge0$ なら $I$ は減少し、エントロピーは凸に減ります。Perelman の $\mathcal{F}$ は $I$ に $\int Ru$ を足し、計量を Ricci flow で、$u$ を逆向きに動かしたものです。すると $\operatorname{Ric}(\nabla f,\nabla f)$ の符号の仮定なしに平方の形 $|\operatorname{Ric}+\nabla^2f|^2$ が現れます。

参考文献

1. G. Perelman, “The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications”, arXiv:math/0211159 (2002). この記事の節番号はこのプレプリントのもの。
2. B. Kleiner, J. Lott, “Notes on Perelman’s papers”, Geom. Topol. 12 (2008), 2587–2855, arXiv:math/0605667. 第 1・第 2 論文の節ごとの詳しい注釈。
3. J. Morgan, G. Tian, Ricci Flow and the Poincaré Conjecture, Clay Mathematics Monographs 3, American Mathematical Society, 2007, arXiv:math/0607607. 簡約体積、$\kappa$-解、標準近傍定理の完全な証明。
4. H.-D. Cao, X.-P. Zhu, “A complete proof of the Poincaré and geometrization conjectures — application of the Hamilton–Perelman theory of the Ricci flow”, Asian J. Math. 10 (2006), 165–492. 改訂版は arXiv:math/0612069。
5. P. Topping, Lectures on the Ricci Flow, London Mathematical Society Lecture Note Series 325, Cambridge University Press, 2006 — 第 6 章（勾配流としての Ricci flow）、第 7 章（コンパクト性）、第 8 章（$\mathcal{W}$ と非崩壊）。
6. R. S. Hamilton, “A compactness property for solutions of the Ricci flow”, Amer. J. Math. 117 (1995), 545–572.
7. L. Gross, “Logarithmic Sobolev inequalities”, Amer. J. Math. 97 (1975), 1061–1083.