数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 II

共役熱方程式の解に対する微分 Harnack 不等式（Perelman）

定理 7.5（「ポアンカレ予想 II」§7） ・ ※主張のみ

g(t)g(t)（0≤t≤T0\le t\le T）を閉 nn 次元多様体 MM 上の Ricci flow の解、u=(4π(T−t))−n/2e−fu=(4\pi(T-t))^{-n/2}e^{-f} を M×[0,T)M\times[0,T) 上の共役熱方程式 □∗u=0\Box^*u=0 の正の解とし、

v=[(T−t)(2Δf−∣∇f∣2+R)+f−n]uv=\bigl[(T-t)\bigl(2\Delta f-|\nabla f|^2+R\bigr)+f-n\bigr]u

と置く。

  1. □∗v=−2(T−t)∣Ric⁡+∇2f−g2(T−t)∣2u\Box^*v=-2(T-t)\Bigl|\operatorname{Ric}+\nabla^2f-\dfrac{g}{2(T-t)}\Bigr|^2u。
  2. uu が t↑Tt\uparrow T で 1 点 pp の δ\delta 関数に収束する解（共役熱方程式の基本解）ならば、M×[0,T)M\times[0,T) 上で v≤0v\le0。

本文で読む（前後の説明）→

閉包の状態

※ 主張のみ

証明を Rikai に書かない定理です（研究最前線の結果や、証明が本 1 冊分になるもの）。主張のみの台帳に理由つきで登録されています。理由と出典は 本文の注意 にあります。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

主張のみなので、Rikai の中で証明が使う前提はありません。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。