μ の下界

補題 6.4（「ポアンカレ予想 II」§6）・ ✓公理まで証明済み

$(M,g)$ を向き付けられた閉 $n$ 次元 Riemann 多様体（ $n\ge3$ ）、 $C_S$ を補題 6.3 の定数、 $R_{\min}=\min_MR$ とする。すべての $\tau\gt0$ について

\mu(g,\tau)\ge\tau\,(R_{\min}-4)-\frac n2\log\Bigl(\frac{\pi e\,n\,C_S}{2}\Bigr).

とくに任意の $T_0\gt0$ について $\inf_{0\lt\tau\le T_0}\mu(g,\tau)\gt-\infty$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 96 件、定義なども含めて 110 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Jensen の不等式✓定理 4.4・凸解析
- 劣微分の存在と最大値公式✓定理 4.3・凸解析
  - 方向微分は劣線形✓補題 4.2・凸解析
    1 変数の凸関数の片側微分✓命題 3.4・凸解析
  - 凸関数の局所リプシッツ性✓定理 3.2・凸解析（上で展開済み）
  - ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性
    閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性この先をたどる →
    コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性この先をたどる →
    ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
    ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性この先をたどる →
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理
- 凸関数の局所リプシッツ性✓定理 3.2・凸解析
  - 有界ならリプシッツ✓補題 3.1・凸解析
閉多様体上の Sobolev 不等式✓補題 6.3・ポアンカレ予想 II
- 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- Gagliardo–Nirenberg–Sobolev の不等式✓定理 4.3・Sobolev 空間
  - Gagliardo の補題✓補題 4.2・Sobolev 空間
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
  - 滑らかな関数による近似✓定理 2.4・Sobolev 空間
    滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
    軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
  - リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入
    絶対収束による完備性の判定✓補題 5.2・L^p 空間と関数解析への導入
    ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入

これを使っている定理証明で参照している 1 件

非崩壊定理 I（Perelman）△定理 6.2・ポアンカレ予想 II

μ の下界

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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