数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 II

閉多様体上の Sobolev 不等式

補題 6.3（「ポアンカレ予想 II」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 88 件、定義なども含めて 102 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理

  • コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  • 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
• Gagliardo–Nirenberg–Sobolev の不等式✓定理 4.3・Sobolev 空間

  • Gagliardo の補題✓補題 4.2・Sobolev 空間

    • ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入

      • 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
      • チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
      • ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
  • 滑らかな関数による近似✓定理 2.4・Sobolev 空間

    • 滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
    • 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数

      • $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
      • $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
      • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
      • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
  • リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入

    • 絶対収束による完備性の判定✓補題 5.2・L^p 空間と関数解析への導入
    • ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入

      • 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
      • ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
    • 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• μ の下界✓補題 6.4・ポアンカレ予想 II
• 距離関数の滑らかな近似✓補題 6.6・ポアンカレ予想 II