数学 › フーリエ解析と超関数 › Sobolev 空間

Gagliardo の補題

補題 4.2（「Sobolev 空間」§4）・ ✓公理まで証明済み

$n\ge2$ とし、 $g_1,\ldots,g_n$ を $\mathbb{R}^{n-1}$ 上の非負可測関数とする。 $\hat x_i\in\mathbb{R}^{n-1}$ を $x$ から第 $i$ 座標を除いたものとすると

\int_{\mathbb{R}^n}\prod_{i=1}^ng_i(\hat x_i)^{1/(n-1)}dx\le\prod_{i=1}^n\Bigl(\int_{\mathbb{R}^{n-1}}g_i\Bigr)^{1/(n-1)}.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
- 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入

これを使っている定理証明で参照している 2 件

離散 Sobolev 不等式✓定理 6.3・補間と古典的不等式
Gagliardo–Nirenberg–Sobolev の不等式✓定理 4.3・Sobolev 空間