数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 II
非崩壊定理 I（Perelman）
を向き付けられた閉 次元多様体（）、（、）を 上の Ricci flow の解とする。このとき と だけで決まる があって、すべての 、、 について次が成り立つ: 時刻 の距離球 の上で ならば
とくに各 はスケール で -非崩壊である。
閉包の状態
△ 証明あり（閉包未完）
証明は Rikai にありますが、たどった先に主張のみの定理（または循環）があり、公理まではつながっていません。止めている前提:
- μ の単調性△命題 5.3・ポアンカレ予想 II
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
μ の下界✓補題 6.4・ポアンカレ予想 II
- Jensen の不等式✓定理 4.4・凸解析（上で展開済み）
閉多様体上の Sobolev 不等式✓補題 6.3・ポアンカレ予想 II
1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
- コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
Gagliardo–Nirenberg–Sobolev の不等式✓定理 4.3・Sobolev 空間
- Gagliardo の補題✓補題 4.2・Sobolev 空間 この先をたどる →
- 滑らかな関数による近似✓定理 2.4・Sobolev 空間 この先をたどる →
- リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
μ の単調性△命題 5.3・ポアンカレ予想 II
- 共役熱方程式の可解性※補題 2.4・ポアンカレ予想 II
共役熱方程式の解の正値性✓補題 2.6・ポアンカレ予想 II
- スカラー最大値原理（ODE との比較）✓定理 5.1・ポアンカレ予想 I
W の単調性（Perelman のエントロピー公式）✓定理 5.2・ポアンカレ予想 II
F の単調性✓定理 3.3・ポアンカレ予想 II
- 熱作用素と共役熱作用素の双対性✓命題 2.3・ポアンカレ予想 II
- F の第一変分✓補題 3.2・ポアンカレ予想 II この先をたどる →
- 関数に対する Bochner の公式✓補題 2.1・ポアンカレ予想 II この先をたどる →
- 縮約 Bianchi 恒等式✓系 5.2・曲率テンソル この先をたどる →
- 熱作用素と共役熱作用素の双対性✓命題 2.3・ポアンカレ予想 II
小さな球の体積✓補題 6.7・ポアンカレ予想 II
指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性
流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性
- 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
- 多様体間の 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
Riemann 距離✓命題 4.3・測地線と完備性
- 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
距離関数の滑らかな近似✓補題 6.6・ポアンカレ予想 II
- 閉多様体上の Sobolev 不等式✓補題 6.3・ポアンカレ予想 II（上で展開済み）
Jensen の不等式✓定理 4.4・凸解析
劣微分の存在と最大値公式✓定理 4.3・凸解析
方向微分は劣線形✓補題 4.2・凸解析
- 1 変数の凸関数の片側微分✓命題 3.4・凸解析
- 凸関数の局所リプシッツ性✓定理 3.2・凸解析（上で展開済み）
- ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性 この先をたどる →
- Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理
凸関数の局所リプシッツ性✓定理 3.2・凸解析
- 有界ならリプシッツ✓補題 3.1・凸解析
- 非負の試験関数✓補題 6.5・ポアンカレ予想 II
これを使っている定理
証明で明示的に参照している定理は、まだありません。