数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 II

W の単調性（Perelman のエントロピー公式）

定理 5.2（「ポアンカレ予想 II」§5） ・ ✓公理まで証明済み

MM を向き付けられた閉 nn 次元多様体とし、g(t)g(t)、f(t)f(t)、τ(t)>0\tau(t)\gt0（t∈[t1,t2]t\in[t_1,t_2]）が

∂g∂t=−2Ric⁡,∂f∂t=−Δf+∣∇f∣2−R+n2τ,dτdt=−1\frac{\partial g}{\partial t}=-2\operatorname{Ric},\qquad \frac{\partial f}{\partial t}=-\Delta f+|\nabla f|^2-R+\frac{n}{2\tau},\qquad \frac{d\tau}{dt}=-1

を満たすとする。u=(4πτ)−n/2e−fu=(4\pi\tau)^{-n/2}e^{-f} と置くと、ff の方程式は □∗u=0\Box^*u=0 と同値で、∫Mu dV\int_Mu\,dV は tt によらず、

ddtW(g(t),f(t),τ(t))=2τ∫M∣Ric⁡+∇2f−g2τ∣2u dV ≥0.\frac{d}{dt}\mathcal{W}(g(t),f(t),\tau(t))=2\tau\int_M\Bigl|\operatorname{Ric}+\nabla^2f-\frac{g}{2\tau}\Bigr|^2u\,dV\ \ge0 .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件