数学 › 微分幾何学 › 曲率テンソル

断面曲率・Ricci 曲率・スカラー曲率

定義 4.1（「曲率テンソル」§4）

  1. σ⊂TpM\sigma\subset T_pM を 2 次元部分空間、X,YX,Y をその基底とする。K(σ)=R(X,Y,Y,X)∣X∣2∣Y∣2−⟨X,Y⟩2K(\sigma)=\dfrac{R(X,Y,Y,X)}{|X|^2|Y|^2-\langle X,Y\rangle^2} を σ\sigma の断面曲率という（命題 3.1 1、2 により基底の取り方によらない）。
  2. Ricci 曲率 Ric⁡(Y,Z)=tr⁡(X↦R(X,Y)Z)=∑iR(Ei,Y,Z,Ei)\operatorname{Ric}(Y,Z)=\operatorname{tr}\bigl(X\mapsto R(X,Y)Z\bigr)=\sum_iR(E_i,Y,Z,E_i)（EiE_i は正規直交基底）。命題 3.1 4 により対称な (0,2)(0,2) テンソル場である。
  3. スカラー曲率 s=tr⁡gRic⁡=∑iRic⁡(Ei,Ei)s=\operatorname{tr}_g\operatorname{Ric}=\sum_i\operatorname{Ric}(E_i,E_i)。

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閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

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