数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 III

Ricci flow のもとでの球面の面積の変化

命題 4.4（「ポアンカレ予想 III」§4） ・ ✓公理まで証明済み

g(t)g(t)（t∈[t1,t2]t\in[t_1,t_2]）を 33 次元多様体 MM 上の Ricci flow の解、Σ⊂M\Sigma\subset M を滑らかに埋め込まれた 22 次元球面とし、A(t)A(t) を g(t)g(t) の誘導計量についての Σ\Sigma の面積とする。

  1. 各時刻で、TΣT\Sigma の正規直交基底 e1,e2e_1,e_2 と面積要素 dAdA について dAdt=−∫Σ(Ric⁡(e1,e1)+Ric⁡(e2,e2))dA=−∫Σ(R2+KM(TΣ))dA.\frac{dA}{dt}=-\int_\Sigma\bigl(\operatorname{Ric}(e_1,e_1)+\operatorname{Ric}(e_2,e_2)\bigr)dA=-\int_\Sigma\Bigl(\frac R2+K_M(T\Sigma)\Bigr)dA .
  2. Σ\Sigma が時刻 t0t_0 の計量 g(t0)g(t_0) について極小ならば dAdt(t0)=−4π−∫Σ(R2+12∣II∣2)dA ≤ −4π−12Rmin⁡(t0) A(t0),\frac{dA}{dt}(t_0)=-4\pi-\int_\Sigma\Bigl(\frac R2+\frac12|\mathrm{II}|^2\Bigr)dA\ \le\ -4\pi-\frac12R_{\min}(t_0)\,A(t_0), ここで Rmin⁡(t0)=inf⁡MR(⋅,t0)R_{\min}(t_0)=\inf_MR(\cdot,t_0)。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 29 件、定義なども含めて 35 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。