数学 › 微分幾何学 › Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

関数の Laplacian

命題 3.3（「Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素」§3） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 22 件、定義なども含めて 26 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

  • 接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

    • テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

      • 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
    • Riemann 計量の存在✓定理 3.6・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

      • 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理 この先をたどる →
  • Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

    • テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
  • 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質

    • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質

      • 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
      • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
    • 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質

      • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
      • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
    • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質

      • 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
• 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

  • Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  • 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理

    • ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理

      • 外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
      • フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分 この先をたどる →
      • チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

• 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開
• 係数 a₀ と a₁✓命題 6.3・熱核の漸近展開
• 外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
• 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
• −4Δ + V の最小固有値と正の固有関数✓補題 4.2・ポアンカレ予想 II
• 閉曲面の全スカラー曲率は計量によらない✓命題 4.3・ポアンカレ予想 I