チャート内での積分

$\omega \in \Omega^n(M)$ が連結なチャート $(U,\varphi)$ の中にコンパクトな台を持つとする。$(\varphi^{-1})^{*}\omega = f\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$（$f$ は $\varphi(U)$ 上の $C^\infty$ 関数でコンパクトな台を持つ）と書き、

と定める。右辺は $\mathbb{R}^n$（あるいは $\mathbb{H}^n \subset \mathbb{R}^n$）上の通常のリーマン積分（ルベーグ積分）である。