数学 › 微分幾何学 › 熱核の漸近展開

接続 Laplacian の計算規則

補題 2.2（「熱核の漸近展開」§2） ・ ✓公理まで証明済み

  1. ∇X,Y2s=∇X∇Ys−∇∇XYs\nabla^2_{X,Y}s=\nabla_X\nabla_Ys-\nabla_{\nabla_XY}s は X,YX,Y について C∞(M)C^\infty(M) 双線形で、∇∗∇s=−tr⁡g∇2s\nabla^*\nabla s=-\operatorname{tr}_g\nabla^2s である。とくに座標 (xi)(x^i) では ∇∗∇s=−∑i,jgij(∇∂i∇∂js−∑kΓijk∇∂ks)\nabla^*\nabla s=-\sum_{i,j}g^{ij}\bigl(\nabla_{\partial_i}\nabla_{\partial_j}s-\sum_k\Gamma^k_{ij}\nabla_{\partial_k}s\bigr)。
  2. 滑らかな関数 ff と s∈Γ(E)s\in\Gamma(E) について P(fs)=(Δf) s−2∇grad⁡fs+f PsP(fs)=(\Delta f)\,s-2\nabla_{\operatorname{grad}f}s+f\,Ps。
  3. u,w∈Γ(E)u,w\in\Gamma(E) について (Pu,w)=(u,Pw)(Pu,w)=(u,Pw)、(Pu,u)=∥∇u∥2+(Fu,u)≥−cF∥u∥2(Pu,u)=\|\nabla u\|^2+(Fu,u)\ge-c_F\|u\|^2。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 24 件、定義なども含めて 29 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 9 件