係数の局所性と普遍性

命題 6.4（「熱核の漸近展開」§6）・ ✓公理まで証明済み

$a_k(y)$ は、 $y$ を中心とする正規座標での $g_{ij}$ の Taylor 係数と、同期枠での接続行列 $A_i$ と $F$ の成分の Taylor 係数のうち有限個の多項式で、その多項式は $n$ 、 $k$ 、 $E$ の階数だけで決まる。とくに $a_k(y)$ は $y$ の任意の近傍での $g,\nabla,F$ だけで決まる。
$P=\Delta$ （関数の Laplacian）のとき、 $a_k(y)$ は $\nabla^pR$ の $y$ での正規直交基底に関する成分の多項式で、その多項式は $n,k$ だけで決まる。たとえば $a_0=1$ 、 $a_1=s/6$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 116 件、定義なども含めて 140 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開
- Clifford 加群と Dirac 型作用素定義 5.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - 接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
  - Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
  - 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
- 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
  - 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
輸送方程式の解✓命題 3.2・熱核の漸近展開
- 一様な正規近傍（コンパクトな場合）✓補題 2.4・熱核の漸近展開
  - 一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性この先をたどる →
  - 測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性この先をたどる →
  - Riemann 距離✓命題 4.3・測地線と完備性この先をたどる →
  - 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性この先をたどる →
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
関数の Laplacian と Dirac 型作用素の 2 乗✓命題 2.3・熱核の漸近展開
- 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開（上で展開済み）
- 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
正規座標での計量の展開✓補題 6.2・熱核の漸近展開
- 平行移動の存在と線形性✓定理 6.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - 曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
  - 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系この先をたどる →
- Levi-Civita 接続の平行移動は等長✓定理 6.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - 曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
- Jacobi 場の基本性質✓命題 3.3・測地線と完備性
  - 対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性この先をたどる →
  - 平行移動の存在と線形性✓定理 6.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
  - 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系この先をたどる →
- 指数写像の微分と Jacobi 場✓命題 3.4・測地線と完備性
  - 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性この先をたどる →
  - Jacobi 場の基本性質✓命題 3.3・測地線と完備性（上で展開済み）
  - 対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性この先をたどる →
- Jacobi 場定義 3.2・測地線と完備性
- 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル
- Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
- 断面曲率・Ricci 曲率・スカラー曲率定義 4.1・曲率テンソル
係数 a₀ と a₁✓命題 6.3・熱核の漸近展開
- 輸送方程式の解✓命題 3.2・熱核の漸近展開（上で展開済み）
- 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開（上で展開済み）
- 正規座標での計量の展開✓補題 6.2・熱核の漸近展開（上で展開済み）
- 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

熱核の局所展開（Minakshisundaram–Pleijel）✓定理 7.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

係数の局所性と普遍性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件